Équation de cercle

posso49 · December 2017

Bonjour, je cherche de l'aide pour cet exercice.
Dans un repère orthonormé xoy, on considère les points fixes A(a,0) et A'(-a,0).
1°) Écrire les équations des droites Au et A'v de coefficients respectifs m et m'. Ces droites se coupent en M.
2°) On suppose que m et m' varient de façon à vérifier la relation mm'+1=(m'-m)cotg(t) où t est un angle donné. Trouver une relation indépendante de m et m' entre les coordonnées x et y de M et de l'angle t.
3°) Reconnaître le lieu du point M et interpréter la relation trouvée à l'aide de l'angle (MA,MB).

1°) Les équations sont y=mx-ma et y=m'x+m'a
Les coordonnées du point M: mx-ma=m'x+m'a => x=a(m+m')/m-m' et y=2amm'/m-m'
2°) Je suis bloqué sur cette question. Je ne vois pas comment traiter le m+m' de x.
Merci.

Math Coss · December 2017

Attention à bien faire la différence entre x=a(m+m')/m-m' et x=a(m+m')/(m-m').

sage: R.<a,t,m,mm,x,y> = PolynomialRing(QQ,6)
sage: I = R.ideal([y-m*(x-a),y-mm*(x+a),t*(m*mm+1)-mm+m])
sage: I.elimination_ideal([m,mm])
Ideal (a^2*t - t*x^2 - t*y^2 - 2*a*y) of Multivariate Polynomial Ring in a, t, m, mm, x, y over Rational Field

GaBuZoMeu · December 2017

MathCoss gâche le travail.
Se souvenir que $(m+m')^2=(m-m')^2+4mm'$.

posso49 · December 2017

Merci gabuzomeu.

Math Coss · December 2017

Bon, on trouve l'équation d'un cercle, ce n'est pas trop surprenant vu le titre du fil, non ?

posso49 · December 2017

Bien sûr, SAGE donne la réponse, mais je n'ai pas réussi à la trouver manuellement.

Math Coss · December 2017

Même maintenant avec l'indication de GaBuZoMeu ? Ou est-ce que c'est une remarque « rétroactive » ?

(J'admets que le calcul par Sage n'aide pas pour trouver la réponse, si ce n'est qu'elle rassure quant à la simplicité du résultat. C'est pour ça que sans avoir l'impression d'aider, je n'avais pas l'impression de « gâcher ».)

posso49 · December 2017

oui même maintenant.

GaBuZoMeu · December 2017

Avec $x^2={?}$, tu as trois équations où $m$ et $m'$ apparaissent à travers $p=mm'$ et $d=m'-m$. Il te reste à éliminer $p$ et $d$ entre ces trois équations. Une équation te donne facilement $p$ en fonction de $d$, on peut reporter dans les deux autres puis éliminer $d$. Pas très jouissif, mais avec un peu de soin et de patience on doit y arriver.

Math Coss · December 2017

Je fais ça salement en supposant que $x\ne\pm a$. On obtient :
\[\begin{cases}m=\dfrac{y}{x-a}\\m'=\frac{y}{x+a}\end{cases}
\quad\text{donc}\quad m-m'=\frac{y}{x-a}-\frac{y}{x+a}=\frac{2ay}{x^2-a^2}.\]
Par ailleurs, en multipliant membre à membre les équations des droites, il vient $y^2=mm'(x^2-a^2)$. En posant $u=\cot t$ et en reportant dans $mm'+1=u(m'-m)$, il vient :
\[\frac{y^2}{x^2-a^2}+1=-u\left(\frac{2ay}{x^2-a^2}\right),\]
d'où l'équation $x^2+y^2-a^2+2auy=0$, aux erreurs de calcul près.

pappus · December 2017

Bonsoir
$m=\dfrac y{x-a}$ et $m'=\dfrac y{x+a}$
On injecte ces relations dans: $mm'+1=(m'-m)\cot(t)$
Je ne vois pas très bien quelle est la difficulté?
Amicalement
[small]p[/small]appus

posso49 · December 2017

Bonjour.
Merci à vous trois.
J'ai bien compris.
Amicalement.

pldx1 · December 2017

Bonjour.

Le fait que la pente soit constante tout au long d'une droite caractérise, via le théorème de Thalès, le fait que les droites sont les courbes "qui vont en ligne droite". Et cette pente n'est autre que la tangente de l'angle orienté que fait cette droite sur l'horizontale. La formule (m-m')/(1+mm') est la formule de combinaison des pentes pour obtenir la tangente de l'angle orienté entre deux droites. Bilan: on obtient les cercles capables... qui sont des cercles en effet !

Cordialement, Pierre.

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