Équation de cercle
Bonjour, je cherche de l'aide pour cet exercice.
Dans un repère orthonormé xoy, on considère les points fixes A(a,0) et A'(-a,0).
1°) Écrire les équations des droites Au et A'v de coefficients respectifs m et m'. Ces droites se coupent en M.
2°) On suppose que m et m' varient de façon à vérifier la relation mm'+1=(m'-m)cotg(t) où t est un angle donné. Trouver une relation indépendante de m et m' entre les coordonnées x et y de M et de l'angle t.
3°) Reconnaître le lieu du point M et interpréter la relation trouvée à l'aide de l'angle (MA,MB).
1°) Les équations sont y=mx-ma et y=m'x+m'a
Les coordonnées du point M: mx-ma=m'x+m'a => x=a(m+m')/m-m' et y=2amm'/m-m'
2°) Je suis bloqué sur cette question. Je ne vois pas comment traiter le m+m' de x.
Merci.
Dans un repère orthonormé xoy, on considère les points fixes A(a,0) et A'(-a,0).
1°) Écrire les équations des droites Au et A'v de coefficients respectifs m et m'. Ces droites se coupent en M.
2°) On suppose que m et m' varient de façon à vérifier la relation mm'+1=(m'-m)cotg(t) où t est un angle donné. Trouver une relation indépendante de m et m' entre les coordonnées x et y de M et de l'angle t.
3°) Reconnaître le lieu du point M et interpréter la relation trouvée à l'aide de l'angle (MA,MB).
1°) Les équations sont y=mx-ma et y=m'x+m'a
Les coordonnées du point M: mx-ma=m'x+m'a => x=a(m+m')/m-m' et y=2amm'/m-m'
2°) Je suis bloqué sur cette question. Je ne vois pas comment traiter le m+m' de x.
Merci.
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Réponses
Se souvenir que $(m+m')^2=(m-m')^2+4mm'$.
(J'admets que le calcul par Sage n'aide pas pour trouver la réponse, si ce n'est qu'elle rassure quant à la simplicité du résultat. C'est pour ça que sans avoir l'impression d'aider, je n'avais pas l'impression de « gâcher ».)
\[\begin{cases}m=\dfrac{y}{x-a}\\m'=\frac{y}{x+a}\end{cases}
\quad\text{donc}\quad m-m'=\frac{y}{x-a}-\frac{y}{x+a}=\frac{2ay}{x^2-a^2}.\]
Par ailleurs, en multipliant membre à membre les équations des droites, il vient $y^2=mm'(x^2-a^2)$. En posant $u=\cot t$ et en reportant dans $mm'+1=u(m'-m)$, il vient :
\[\frac{y^2}{x^2-a^2}+1=-u\left(\frac{2ay}{x^2-a^2}\right),\]
d'où l'équation $x^2+y^2-a^2+2auy=0$, aux erreurs de calcul près.
$m=\dfrac y{x-a}$ et $m'=\dfrac y{x+a}$
On injecte ces relations dans: $mm'+1=(m'-m)\cot(t)$
Je ne vois pas très bien quelle est la difficulté?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci à vous trois.
J'ai bien compris.
Amicalement.
Le fait que la pente soit constante tout au long d'une droite caractérise, via le théorème de Thalès, le fait que les droites sont les courbes "qui vont en ligne droite". Et cette pente n'est autre que la tangente de l'angle orienté que fait cette droite sur l'horizontale. La formule (m-m')/(1+mm') est la formule de combinaison des pentes pour obtenir la tangente de l'angle orienté entre deux droites. Bilan: on obtient les cercles capables... qui sont des cercles en effet !
Cordialement, Pierre.