Deux ellipses

gb
gb
dans Géométrie
Bonjour,

Cet exercice m'a conduit à me poser deux questions.

Les points D, E et F sont les pieds des bissectrices intérieures du triangle ABC.
Lepoint D se projette orthogonalement en Db et Dc sur les droites (AC) et (AB) respectivement (points M et N de l'exercice initial).
On définit par permutation circulaire les points Ec, Ea, Fa et Fb (fig. 1).

L'hexagone DbDcEcEaFaFb est inscriptible dans une conique concentrique au cercle inscrit dans le triangle ABC.

Qustion 1 : Cette ellipse est-elle répertoriée ?

Les points A', B' et C' sont les intersections (autres que les sommets...) des bissectrices intérieures avec le cercle circonscrit au triangle ABC.
Le point D' de la droite (BC) est tel que (D'Db) et (D'Dc) sont respectivement parallèles (A'B) et (A'C) (point P de l'exercice initial). Les points E' et F' sont définis par permutation circulaire (fig. 2).

L'hexagone DD'EE'FF' est inscriptible dans une conique de centre \(\Omega\).

Qustion 2 : Cette ellipse est-elle répertoriée ? Si ce n'est pas le cas, le point \(\Omega\) est-il répertorié ?70794
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Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Avec Morley inscrit, une équation de la première conique est: 
    T2=(s2^2-2*s1*s3)*z^2 + (-3*s1^3*s3+s1^2*s2^2+11*s1*s2*s3-3*s2^3-12*s3^2)*z*zB - s3^2*(-s1^2+2*s2)*zB^2;
T1=(2*s1^2*s3-s1*s2^2-s2*s3)*z - s3*(s1^2*s2+s1*s3-2*s2^2)*zB;
T0=4*s1^3*s3-s1^2*s2^2-16*s1*s2*s3+4*s2^3+21*s3^2;

Equation=T2+T1+T0=0

    où $zB$ est $\overline{z}$.

    A ma connaissance, cette ellipse n'est pas répertoriée, ce qui ne prouve rien.

    Cordialement,

    Rescassol
  • gb
    gb
    En fait je viens de me rendre compte d'une chose toute bête : la conique de ma question 2 est tout simplement bicévienne de l'orthocentre et du cercle inscrit.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    GB, finalement, ta première conique est la première conique de Lozada, dont le centre est répertorié dans l'ETC.
    Il s'agit de $X_{9724}$: 
    Num=-s3*(3*s1^5*s2*s3 - s1^4*s2^3 - s1^4*s3^2 - 16*s1^3*s2^2*s3 + 5*s1^2*s2^4 + 11*s1^2*s2*s3^2 + 21*s1*s2^3*s3 + 12*s1*s3^3 - 6*s2^5 - 28*s2^2*s3^2)
Den=9*s1^6*s3^2 - 6*s1^5*s2^2*s3 + s1^4*s2^4 - 66*s1^4*s2*s3^2 + 40*s1^3*s2^3*s3 + 80*s1^3*s3^3 - 6*s1^2*s2^5 + 93*s1^2*s2^2*s3^2 - 66*s1*s2^4*s3 - 280*s1*s2*s3^3 + 9*s2^6 + 80*s2^3*s3^2 + 144*s3^4
X_9724=Num/Den

    Cordialement,

    Rescassol
  • gb
    gb
    Merci
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