trigonométrie hyperbolique

Voici une façon de comprendre (définir) le sinus : c'est la fonction réciproque de $\Phi$ (qui a posteriori sera l'arc-sinus dans le bon intervalle...), définie ainsi. Pour $y\in[-1,1]$, $\Phi(y)$ est la longueur de l'arc du cercle unité compris entre le point $\gamma(0)=(1,0)$ et le point $\gamma(y)=\bigl(\sqrt{1-y^2},y\bigr)$.

Je reformule... On paramètre le demi-cercle unité situé dans le demi-plan $\{(x,y)\in\R^2,\ x\ge0\}$ par $\gamma:[-1,1]\to\R^2$, $y\mapsto\bigl(\sqrt{1-y^2},y\bigr)$ ; puis on calcule l'abscisse curviligne sur cette courbe, $\Phi(y)=\int_0^y\|\gamma'(z)\|\mathrm{d}z$ ; on définit $\pi=\Phi(1)-\Phi(-1)$ comme la longueur totale de la courbe ; visiblement, $\Phi$ est impaire et une bijection strictement croissante de $[-1,1]$ sur $[-\pi/2,\pi/2]$ ; enfin, le sinus est la fonction $\Phi^{-1}:[-\pi/2,\pi/2]\to[-1,1]$ (prolongée ensuite de $\R$ dans $\R$).

Si on fait le même travail en partant de l'hyperbole $x^2-y^2=1$, il y a fort à parier que la fonction obtenue est le sinus hyperbolique, qui est donc compris ainsi comme provenant d'un paramétrage de ladite hyperbole par longueur d'arc.

Non, bien sûr, d'ailleurs ce n'est pas ce que j'ai dit. C'est la même construction mais comme on paramètre des courbes différentes, les fonctions obtenues sont différentes.

L'analogie concerne les aires des secteurs respectivement circulaire et hyperbolique, et non les longueurs des arcs de ces courbes. Pour le cercle ça n'a pas d'importance puisque dans le cercle-unité l'aire du secteur est la moitié de la longueur de l'arc, mais il n'en est pas de même pour l'hyperbole, et pour celle-ci il faut oublier la longueur de l'arc, laquelle ne s'exprime pas au moyen des fonctions élémentaires. Avec les aires l'analogie est parfaite.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Bon, voici une version de l'analogie qui me paraît tout à fait parfaite...

Je retire ce document dont l'élégance repose sur une erreur de calcul grossière.

Ahem... Il y a bien pire ! Le calcul à la dernière ligne de la page 2 est séduisant mais terriblement faux : $\frac{1}{1+y^2}+1=\frac{2y^2+1}{y^2+1}\ne\frac{1}{y^2+1}$. Il en résulte que l'intégrale de longueur n'est pas calculable de façon élémentaire, comme l'a fait justement remarquer Chaurien.

Bon, je retire tout.