Petit exercice : Steiner et Morley

Bonsoir,

Tu es sûr de toi ?

Cordialement,

Rescassol

Bonjour
Juste une question (j'ignore la réponse) : un des sommets du triangle de Morley peut-il être extérieur à l'ellipse de Steiner inscrite?
Amicalement. Poulbot

Bonjour Rescassol
Je n'arrive pas à visualiser un exemple avec $3$ sommets extérieurs mais cela n'a aucune importance, je te fais totalement confiance.
En tour cas, cela montre qu'il faut interpréter le grand axe et le petit axe de Bloy.noel comme des droites (axe focal et axe non focal aurait été plus clair).
Amicalement. Poulbot

Merci Rescassol
En fait, j'ai trouvé un exemple numérique : un triangle de côtés $a=2,b=104,c=105$.
Les sommets du triangle de Morley sont
$A^{\prime }=\left( a:2b\cos \frac{C}{3}:2c\cos \frac{B}{3}\right) ,B^{\prime }=\left( 2a\cos \frac{C}{3}:b:2c\cos \frac{A}{3}\right) ,C^{\prime }=\left( 2a\cos \frac{B}{3}:2b\cos \frac{A}{3}:c\right) $.
Il suffit de vérifier que, pour les $3$ sommets $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy>0$.
L'axe focal coupe les segments $\left[ A^{\prime }C^{\prime }\right] $ et $\left[ B^{\prime }C^{\prime }\right] $ alors que l'axe non focal ne coupe aucun côté (segment) du triangle de Morley.
Amicalement. Poulbot