Kimberling's SearchKey

pldx1 · December 2017

Bonjour,

La fin de l'année, c'est le bon moment pour mettre à jour sa copie de la base de données ETC, et en particulier les "SearchKeys" fournies par Kimberling sur les pages http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/Search_6_9_13.html

On commence donc par recopier "quelque part" les deux premières colonnes de chaque table, soit...

1	1.69030850945703315501	
2	2.62936879248871824114	
3	6.78236289419634553451	
4      -5.67661941092653634560

pour la première,

puis on assemble les colonnes, pour obtenir:

n   x                        y                        z
1   1.69030850945703315501   1.69030850945703315501   1.69030850945703315501
2   2.62936879248871824114   1.75291252832581216076   1.21355482730248534206
3   6.78236289419634553451   5.89495092673140312812  -3.57077672622798253997
4  -5.67661941092653634560  -6.53116426848536977397  10.78221793436342110615

Il y a 15639 lignes ! Première étape: constater que $6x+9y+13z$ ne prend qu'un nombre très limité de valeurs.
Quelles sont-elles ?

Cordialement, Pierre.

pldx1 · January 2018

Bonjour.

Une valeur attendue est $6x+9y+13z=0$. Cela correspond aux points à l'infini (rappel: ce qui est listé, ce sont des trilinéaires, qu'il faut convertir en barycentriques). Il y en a... 491. Il en reste... 15148 !

Un lemme qui sera bien utile: si $p,q,r$ sont des barycentriques, déterminer les points (s'il y en a) tels que $p+q+r=0$ et, en même temps, $1/p+1/q+1/r=0$.

Cordialement, Pierre.

pappus · January 2018

Merci Pierre
Dans une métrique pour laquelle le triangle de référence $ABC$ est équilatéral, ne seraient-ce pas les coordonnées barycentriques des ombilics (dont je n'arrive jamais à me souvenir)?
Amicalement
[small]p[/small]appus

pldx1 · January 2018

Bonjour.

Oui. Les points qui posent problème sont à l'infini et sont ou bien les directions d'un côté, ou bien les points dont les barycentriques sont: $ -1/2\pm i/2\sqrt {3}:-1/2\mp i/2\sqrt {3}:1$. Autrement dit, ce ne sont pas les ombilics $S_b-2\,iS: S_a+2\,iS:-c^{2}$. Et donc, normaliser les points à l'infini par $1/x+1/y+1/z$ ne tue pas les ombilics, bonne nouvelle !

Remarque: Kimberling utilise des trilinéaires, ce qui fait qu'il normalise par $a/x+b/y+c/z$... ce qui ne tue pas non plus les ombilics... En normalisant "à la barycentrique", on trouve $$\Omega_x\approx \left[ \begin {array}{c} 0.95412374899554386737- 0.30425306211572282082\,i\\
1.0890861275476660092+ 1.0346332822514778878\,i\\
- 2.0432098765432098766- 0.73038022013575506701\,i\end {array} \right]$$

Question subsidiaire: que vaut alors la searchkey ?

Kimberling's SearchKey

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