Points rationnels d'une courbe dans l'espace
dans Géométrie
Bonsoir,
On se donne un cylindre vertical de rayon 1, intersectant l'axe $Ox$ en l'origine et en un point $r>0$ rationnel.
On considère son intersection avec le cône d'axe $Oz$ et de pente 1. Cela définit une certaine courbe algébrique.
Mis à part l'origine et le point $(r,0,r)$, cette courbe contient-elle des points rationnels?
On se donne un cylindre vertical de rayon 1, intersectant l'axe $Ox$ en l'origine et en un point $r>0$ rationnel.
On considère son intersection avec le cône d'axe $Oz$ et de pente 1. Cela définit une certaine courbe algébrique.
Mis à part l'origine et le point $(r,0,r)$, cette courbe contient-elle des points rationnels?
Réponses
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Il s'agit bien du cylindre $x^2-rx+y^2=0$ et du cône $x^2+y^2-z^2=0$ ?
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Pour le cône ok.
Pour le cylindre je trouve (après correction de pappus) $x^2+y^2-rx-y\sqrt{4-r^2}=0$. -
Bonsoir Shah d'Ock
Au lieu de définir tes surfaces de manière ambigüe, par exemple tu n'as pas donné explicitement le sommet de ton cône et c'est bien la première fois que j'entends parler de la pente d'un cône, ton cylindre aussi n'est pas déterminé de façon unique par tes données, ne pourrais tu pas tout simplement nous donner explicitement les équations de ton cylindre et de ton cône?
Leur intersection est une biquadratique!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Et en fait je m'intéresse plutôt aux points de la forme $(x,y,z)$ avec $x$ et $z$ rationnels et $y$ arbitraire.
-
Bonne Nuit
On a enfin obtenu des équations.
J'avais bien deviné comme Chaurien l'équation du cône mais je n'ai toujours pas digéré la notion de pente d'un cône!
Pour le cylindre, je dirais que c'est plutôt:
$x^2+y^2-rx\pm y\sqrt{4-r^2}=0$
sauf erreur toujours possible de ma part.
En effet l'équation du cylindre est de la forme $x^2+y^2-rx-sy=0$
L'axiome de Pythagore implique alors $r^2+s^2=4$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Pour le cylindre tu as parfaitement raison, je corrige (j'ai choisi + arbitrairement car le problème ne change pas si on change $y$ en $-y$).
Je me doutais que la notion de pente d'un cône n'était pas orthodoxe, mais il faut appeler ça comment? -
Sauf si j'ai encore fait une erreur de calcul, le problème tel que modifié dans mon troisième post est équivalent à trouver les rationnels $t \in [-1,1]$ tels que $r\sqrt{1-t^2}+t\sqrt{4-r^2}$ est encore rationnel (ce qui, en renommant $\frac{r}2$ en $s$, s'écrit plus joliment $s\sqrt{1-t^2}+t\sqrt{1-s^2} \in \mathbb Q$).
-
Bonsoir Shah d'Ock
Un cône n'a pas de pente, point barre.
Il existe suffisamment d'autres notions géométrique pour définir un cône sans parler d'une pente qui n'existe pas!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
C'était bien la peine de me tanner pour avoir des équations et avec la pente d'un cône qui n'existe pas, pour ensuite ne plus participer.
Cordialement. -
M'enfin...
On peut choisir les axes pour que $Co : x^2+y^2=z^2$.
Modulo une similitude $Cy : (x-u)^2+y^2=1$.
Le problème prend sens si $u$ est rationnel.
Pax omnibus...
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