Groupe homothétie

Hob___ · January 2018

Si l'ensemble des homothéties-translations est un groupe pour $\circ$ , est-ce que l'ensemble de toutes les homothéties est un groupe pour $\circ$ ?
De même est-ce que l'ensemble de toutes les rotations est un groupe pour $\circ$ ?

Math Coss · January 2018

Quelle est la composée de deux homothéties ?
Plus simple, et qui permet de répondre aux deux questions à la fois : quelle est la composée de deux symétries centrales ?

GaBuZoMeu · January 2018

L'ensemble des homothéties de même centre est un groupe pour la composition.
L'ensemble des homothéties de centres quelconques n'est pas un groupe pour la composition.

Lake · January 2018

Bonjour,

Une translation peut-elle être considérée comme une homothétie de rapport 1 dont le centre est rejeté à l'infini ?

Math Coss · January 2018

Ça ne semble pas une très bonne idée. Une homothétie étant caractérisée par un centre et un rapport, comment distingue-t-on les différentes translations ?

Hob___ · January 2018

La composée de deux homothéties de centre respectif $O_1$ et $O_2$ et de rapports respectifs $k_1$ et $k_2$ est :
- une translation si $k_1k_2=1$
- une homothétie de rapport $k_1k_2$ si $k_1k_2\neq1$.

Donc la composée de deux homothéties définit bien une loi de composition interne pour $\circ$ ?

J'ignore ce qu'est une symétrie centrale. Nous avons parlé simplement de translations, d'homothéties, de rotations, de similitudes directes et de réflexions.

Lake · January 2018

Ma question était motivée (et rien de plus) par le fait que si on considère les translations comme un cas particulier d'homothétie, on peut parler du groupe des homothéties.

Hob___ · January 2018

"L'ensemble des homothéties de centres quelconques n'est pas un groupe pour la composition." a écrit GaBuZoMeu.
Comment le prouve-t-on ?

GaBuZoMeu · January 2018

Hob___ écrivait:

> Donc la composée de deux homothéties définit
> bien une loi de composition interne pour $\circ$ ?

Tu viens d'expliquer juste avant que la composition de deux homothéties de centres différents n'est pas toujours une homothétie. Ton discours n'est pas très cohérent !

Hob___ · January 2018

Toutes les translations ne sont-elle pas des homothéties de rapport 1 ?

EDIT : oui pardon, je laisse ma question même si elle est fausse. J'avais du mal à comprendre : en fait une composée d'homothéties où $k_1k_2=1$ est une translation mais toute translation n'est pas une homothétie de rapport 1.

GaBuZoMeu · January 2018

Hum, tu devrais revoir la définition d'une homothétie !

Dom · January 2018

Et non : une homothétie de rapport 1 fixe tous les cercles, par exemple.
Une homothétie de rapport 1 est l'identité.
Une translation de vecteur non nul ne fixe aucun point, donc aucun cercle.

Mais peut-être que depuis le début on oublie de dire s'il sagit de transformations vectorielles ou bien de transformations affines ?

Math Coss · January 2018

Ce serait bien étonnant que tu n'aies jamais rencontré une symétrie centrale ! Une symétrie centrale est une homothétie de rapport $-1$ (ou bien, ce qui revient au même dans le plan, une rotation d'angle $\pi$).

Par ailleurs, non, la seule translation qui est une homothétie de rapport 1 est l'identité. (En revanche, les translations sont les applications affines dont l'application linéaire associée est une homothétie vectorielle de rapport $1$, c'est-à-dire l'identité...)

Hob___ · January 2018

Il s'agissait bien de transformations du plan. En tout cas merci, vos messages m'aident à y voir un peu plus clair.

soland · January 2018

Je dirais :
$T$ est une translation (proprement dite, càd. sans point fixe), elle fait partie du groupe des isométries.
$H$ est une homothétie (proprement dite, càd. de rapport $\neq 1$), elle fait partie du groupe des dilatations. 71192

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