Centre de gravité d'une portion de couronne

Bonjour,

Le résultat proposé est faux puisque, pour un angle au centre de $\displaystyle 2\pi$ qui couvre donc toute la couronne, le centre de gravité $G$ est en $O$ et $\displaystyle OG=0.$
Par symétrie, on peut considérer le plan euclidien avec $G$ sur l'axe des abscisses. On a alors $\displaystyle \vec{OG} = {\iint \vec{OM}\,dS \over \iint dS}$ pour une répartition uniforme de masse (et un champs de pensanteur uniforme). Si on ne veut pas considérer le champs de pesanteur, alors il faut calculer le centre de masse et non pas le centre de gravité.
En polaire, on a $\displaystyle OG = {\int_{R}^{R'} \int_{-\alpha}^{\alpha}r dr d\theta r \cos \theta \over \int_{R}^{R'} \int_{-\alpha}^{\alpha} r dr d\theta} = {2 \sin \alpha {R'^3-R^3 \over 3} \over 2 \alpha {R'^2-R^2 \over 2} } = {\sin \alpha \over \alpha} {2 \over 3} {R'^2 + R^2 + R'R \over R'+R}.$ On retrouve que $G$ est sur l'axe des abscisses car $\displaystyle \int_{-\alpha}^{\alpha} d\theta \sin \theta = 0.$