L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Centre de gravité d'une portion de couronne
dans Géométrie
Bonjour et meilleurs vœux pour 2018
Deux cercles concentriques de centre O et de rayons R, R' définissent une couronne.
Un angle au centre intercepte sur cette couronne une "portion de couronne", dont le centre de gravité G se trouve sur l'axe de symétrie (bissectrice de l'angle au centre).
Quelqu'un pourrait-il me confirmer le résultat suivant ?
OG = 2(R2 + R.R' + R'2)/3(R + R').
Merci d'avance et à+
Deux cercles concentriques de centre O et de rayons R, R' définissent une couronne.
Un angle au centre intercepte sur cette couronne une "portion de couronne", dont le centre de gravité G se trouve sur l'axe de symétrie (bissectrice de l'angle au centre).
Quelqu'un pourrait-il me confirmer le résultat suivant ?
OG = 2(R2 + R.R' + R'2)/3(R + R').
Merci d'avance et à+
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Réponses
Le résultat proposé est faux puisque, pour un angle au centre de $\displaystyle 2\pi$ qui couvre donc toute la couronne, le centre de gravité $G$ est en $O$ et $\displaystyle OG=0.$
Par symétrie, on peut considérer le plan euclidien avec $G$ sur l'axe des abscisses. On a alors $\displaystyle \vec{OG} = {\iint \vec{OM}\,dS \over \iint dS}$ pour une répartition uniforme de masse (et un champs de pensanteur uniforme). Si on ne veut pas considérer le champs de pesanteur, alors il faut calculer le centre de masse et non pas le centre de gravité.
En polaire, on a $\displaystyle OG = {\int_{R}^{R'} \int_{-\alpha}^{\alpha}r dr d\theta r \cos \theta \over \int_{R}^{R'} \int_{-\alpha}^{\alpha} r dr d\theta} = {2 \sin \alpha {R'^3-R^3 \over 3} \over 2 \alpha {R'^2-R^2 \over 2} } = {\sin \alpha \over \alpha} {2 \over 3} {R'^2 + R^2 + R'R \over R'+R}.$ On retrouve que $G$ est sur l'axe des abscisses car $\displaystyle \int_{-\alpha}^{\alpha} d\theta \sin \theta = 0.$
J'avais procédé par Guldin, en divisant V (volume engendré par la révolution de la portion de couronne autour d'un diamètre idoine) par S.P (aire de la portion de couronne fois périmètre décrit par G) ; mais dans l'expression de l'aire (R.arc - R'.arc')/2 j'avais par inadvertance remplacé les arcs par les cordes.
Tous calculs refaits, je trouve la formule avec sinus/angle où angle = moitié de l'angle au centre...
A+
Compte tenu de l'analogie entre la position du centre de gravité d'un triangle isocèle à partir du sommet
2.hauteur/3
et celle du centre de gravité d'un secteur circulaire à partir du sommet
2.rayon.corde/3.arc,
ne pourrait-on pas déduire la position du centre de gravité de la portion de couronne de la position du centre de gravité du trapèze isocèle ?
A+
Si tu admets que pour un secteur de disque de rayon $R$ et d'angle $\alpha$ tu as
$OG_R=\dfrac {2R\times 2\sin\frac \alpha 2}{3\alpha}$ , tu peux considérer que ton secteur de couronne un système formé par un grand secteur de disque affecté d'une masse proportionnelle à son aire (donc à, $R^2$) et d'un petit secteur de disque affecté d'une masse proportionnelle à l'opposé de son aire, donc à $-r^2$ puisque tu l'enlèves.
La position du centre de gravité $G$ du système sera donc
$OG=\dfrac{R^2OG_R-r^2OG_r}{R^2-r^2}=\dfrac {4\sin\frac\alpha 2}{3\alpha}\times \dfrac {R^3-r^3}{R^2-r^2}=\boxed{\dfrac {4\sin\frac \alpha 2}{3\alpha}\times \dfrac {R^2+Rr+r^2}{R+r}}$.
Amicalement. jacquot