CG54

Bonjour.

1954, cela ne rajeunira personne !

[size=large]Données[/size]
Dans tout le problème on considère, dans un plan $(P)$, $ \def\tri#1{\mathcal{T}_{#1}}$ un triangle $(\tri{})$, dont les sommets sont désignés par $A,B,C$. On pose $BC=a,CA=b,AB=c$.

Pour la question 1, 2° , on donne de plus, dans $(P)$, un triangle ($\tri 1$) (véritable ou aplati) dont les sommets sont désignés par $A_{1},B_{1},C_{1}$. On pose $BC_{l}=a_{1},CA_{1}=b_{1},AB_{1}=c_{1}$.

Dans la question I, 3° , ou se donne seulement $(\tri{})$ et trois nombres positifs $p,q,r$. On aura à envisager les deux points $U,U'$ de la droite $BC$, tels que $\frac{UB}{UC}=\frac{U'B}{U'C}=\frac{q}{r}$, les deux points $V,V'$ de la droite $CA$, tels que $\frac{VC}{VA}=\frac{V'C}{V'A}=\frac{r}{p}$ et les deux points $W,W'$ de la droite $AB$ tels que $\frac{WA}{WB}=\frac{W'A}{W'B}=\frac{p}{q}$.

[size=large]partie 1[/size]

1. Une inversion dont le pôle $O$, distinct des points $A,B,C$, appartient au plan $(P)$, transforme les points $A,B,C$ en les points respectifs $A',B',C'$. Etablir l'égalité métrique \[ \frac{A'B'}{A'C'}=\frac{AB}{AC}\div\frac{OB}{OC} \] et l'égalité angulaire (entre mesures algébriques d'angles orientés de vecteurs, dans le plan $(P)$ orienté, à $2k\pi$ radians près (k entier)): \[ (\overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'C'})=(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \]
   
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2. On demande de déterminer le point $O$ de manière que les points $A',B',C'$, définis dans I-1), à une homothétie près, forment un triangle indirectement semblable au triangle $(\tri 1)$, $A',B',C'$ étant sommets homologues respectifs de $A_{1},B_{1},C_{1}$.
   Discuter l'existence et le nombre des points $O$ répondant au problème. Caractériser les triangles $(\tri 1)$ particuliers pour lesquels ce problème est impossible.
   
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3. Montrer (en premier lieu) qu'on peut ramener à un problème du type précédent la recherche d'un point $m$ du plan $(P)$ dont les distances aux sommets de $(\tri{})$ soient proportionnelles aux nombres $p,q,r$ c'est-à-dire que \[ \frac{mA}{p}=\frac{mB}{q}=\frac{mC}{r} \] Discuter ce nouveau problème. Préciser ses conditions de possibilité en faisant intervenir trois longueurs dont les mesures sont les produits $ap,bq,cr$.
   Trouver (en second lieu) le lieu $\left(\Lambda\right)$ des points $M$ de l'espace tels que \[ \frac{MA}{p}=\frac{MB}{q}=\frac{MC}{r}. \] Définir $(\Lambda)$, quand il existe, à l'aide des sphères décrites sur les segments $UU',VV',WW'$ comme diamètres.
   En supposant $p,q,r$ inégaux, démontrer que les couples de points $(U,U'),(V,V'),(W,W')$ sont les trois couples de sommets opposés d'un quadrilatère complet $(Q)$, c'est-à-dire que : deux points étant prélevés de manière quelconque, l'un dans le premier couple, l'autre dans le deuxième couple, la droite joignant ces deux points contient un certain point du troisième couple.
   
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4. Dans ce paragraphe, on suppose que les nombres $p,q,r$ soient tels que le lieu ($\Lambda)$ se réduise à un cercle point (ce point sera encore désigné par la lettre $M$). Montrer qu'il existe alors des nombres algébriques $p',q',r'$ satisfaisant aux relations suivantes \[ \left|p'\right|=p,\left|q'\right|=q,\left|r'\right|=r,\,ap'+bq'+cr'=0 \] et que, réciproquement, si $p,q,r$ sont les valeurs absolues de nombres non nuls, $p',q',r'$ tels que $ap'+bq'+cr'=0$, le lieu $(\Lambda)$ est un cercle point.
   Quel est le lieu du point M quand $p',q',r'$ varient en restant liés par la condition précédente?
   
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5. On supposera désormais, pour préciser, que les points U, V, W, définis dans les données, sont tels que \[ \frac{\overline{UB}}{\overline{UC}}=\frac{q}{r},\frac{\overline{VC}}{\overline{VA}}=\frac{r}{p},\frac{\overline{WA}}{\overline{WB}}=\frac{p}{q} \] ce qui établit une distinction entre les points de chacun des couples (U, U' ), (V, V' ), (W, W' ). $p',q',r'$ variant comme il a été stipulé dans la question relative au lieu du point $M$, démontrer les propositions suivantes :
   1. Chacune des droites $MU,MV,MW,MU',MV',MW'$, passe par un point fixe.
      
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   2. Les côtés du quadrilatère $(Q)$, qui sont les droites $UVW,UV'W',U'VW',U'V'W$, passent respectivement par des points fixes $I,J,K,L$. On qualifiera la situation de tous ces points fixes, et notamment de $I,J,K,L$, par rapport au triangle $(T)$.
      
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   3. Les couples de droites $(MA,BC)$, $(MB,CA)$, $(MC,AB)$, $(MI,UI)$, $(MJ,UJ)$, $(MK,VK)$, $(ML,WL)$ sont isogonaux, c'est-à-dire ont tous les mêmes directions de bissectrices.
   
   N.B. L'ordre dans lequel on établira les propositions de b) et de c) est laissé à l'entière disposition des concurrents.
   

[size=large]Part 2[/size]

1. Mêmes données que dans I-3). On considère les cercles $(\Gamma)$ du plan $(P)$ tels que les puissances de $A,B,C$, par rapport à un tel cercle soient respectivement proportionnelles à $p^{2},q^{2}r^{2}$. Déterminer, en tant que transversale au triangle $(\tri{})$, l'axe radical d'un cercle $(\Gamma)$ et du cercle $(ABC)$ circonscrit au triangle $ABC$.
   Etudier la famille $(\Phi)$ des cercles $(\Gamma)$ ainsi obtenus. La discussion fera apparaitre différents cas qu'on rattachera à l'existence ou à la non-existence du lieu $(\Lambda$) défini dans I-3). On qualifiera, dans les divers cas possibles, les cercles de la famille $(\Phi)$.
   
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2. De cette étude, déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un cercle $(\Gamma_{0})$ du plan $(P)$, distinct du cercle $(ABC)$, soit tangent à ce cercle.
   
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3. Considérons le triangle XYZ dont les milieux des côtés $YZ,ZY,XY$ sont respectivement les points $A,B,C$. Déduire de la condition visée à l'alinéa précédent II-2), que le cercle inscrit au triangle $XYZ$ est tangent au cercle $(ABC)$ (lorsqu'il ne se confond pas avec ce cercle).
   Le point de contact $\mu$ de ces deux cercles est une position particulière du point $M$ défini au début de I-4), et l'on vérifiera qu'il correspond aux valeurs suivantes de $p',q',r'$: \[ p'=b-c,\;q'=c-a,\;r'=a-b \] (on supposera ici les longueurs $a,b,c$ inégales). On continuera à désigner par $U,V,W,U',V',W'$ les points notés ainsi déjà dans I-4), et qui correspondent à $\mu$ comme ils correspondaient à M dans I-4).
   Du fait que $p'+q'+r'=0$, déduire que la droite $UVW$ passe par le point de concours $G$ des médianes de $(T)$ et que les droites $UV'W',U'VW',U'V'W$ passent respectivement par les points $X,Y,Z$.
   
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4. Soit $\eta$ le point de rencontre des droites $XZ,U'W'$ et soit $\zeta$ le point de rencontre des droites XY, U'V'. Montrer que les couples de points $(U',W')$ et ($\eta$, Y) forment une division harmonique; puis que la droite $\eta\zeta$ passe par le milieu de $WW'$; on verra de même qu'elle passe par le milieu de $VV'$. En déduire que $\eta\zeta$ est la tangente en $\mu$ au cercle $(ABC)$.
   Prouver que le point de rencontre $n$ de la droite $UVW$ avec $XY$ est le symétrique de $Z$ par rapport à $C$. Conclure, enfin, que la droite $UVW$, c'est-à-dire $IG$, et la tangente en $\mu$ au cercle $ABC$ sont deux transversales réciproques par rapport au triangle $XYZ$.

N.B. Deux transversales à un triangle sont dites réciproques par rapport à celui-ci lorsque le produit des deux rapports analogues dans lesquels ces deux droites divisent algébriquement chacun des côtés du triangle est égal à l'unité.

(1954)