Cas 1 : la famille \((u,v)\) est liée.
Alors \(u \wedge v\) est nul, \(X\) également.
On vérifie facilement que deuxième membre de la formule est nul.
Cas 2 : la famille \((u,v)\) est libre.
Elle engendre un plan \(P\) dont \(u \wedge v\) est un vecteur normal.
Le vecteur \(X\) est orthogonal à \(u \wedge v\), donc appartient à \(P\) et est combinaison linéaire de la famille génratrice \((u,v)\) de \(P\). Il existe donc deux scalaires \(a\) et \(b\) tels que : \[X = au + bv.\]
Le vecteur \(X\) est orthogonal à \(w\) d'où : \[a(u \mid w) + b (v \mid w) = (au+bv \mid w) = (X \mid w) = 0\] donc il existe un scalaire \(t\) tel que :
\begin{align} a &= t(v \mid w) & b &= -t(u \mid w) \end{align}
On a obtenu, pour tout triplet \((u,v,w)\) : \[(u \wedge v) \wedge w = t \bigl( (v \mid w) u - (u \mid w) v \bigr),\] c'est-à-dire que les deux formes trilinéaires \((u,v,w) \mapsto (u \wedge v) \wedge w\) et \((u,v,w) \mapsto (v \mid w) u - (u \mid w) v\) sont proportionnelles.
Pour trouver le rapport \(t\) il suffit de les évaluer sur un triple \((u,v,w)\) qui ne les annule pas, par exemple une base orthonormé directe…
Synthétique-analytique, je ne suis pas certain de savoir ce que ça veut dire.
Voici une démonstration.
Soient $u,v,w$ des vecteurs d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Soit $v=\alpha i$, $\left\| i\right\|=1$, soit $\left\| j\right\| =1$, $j\perp i$, dans le plan $Vect(v,w)$, en sorte que : $w=\alpha ^{\prime }i+\beta j$.
Soit $k=i\wedge j$, alors $(i,j,k) $ est une base orthonormale directe.
On a : $u=\alpha^{\prime \prime }i+\beta ^{\prime }j+\gamma k$.
Alors : $v\wedge w=\alpha\beta k$, d'où : $u\wedge (v\wedge w)=-\alpha ^{\prime \prime }\alpha\beta j+\beta ^{\prime}\alpha \beta i$.
Par ailleurs : $(u\mid w)=\alpha ^{\prime \prime }\alpha ^{\prime }+\beta^{\prime }\beta $, et : $(u\mid v)=\alpha ^{\prime \prime }\alpha $, en sorte que : $(u\mid w)v-(u\mid v)w=(\alpha ^{\prime \prime }\alpha ^{\prime }+\beta^{\prime }\beta )\alpha i-\alpha ^{\prime \prime }\alpha (\alpha ^{\prime}i+\beta j)=\beta ^{\prime }\beta \alpha i-\alpha ^{\prime \prime }\alpha\beta j$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Réponses
Je note : \(X = (u \wedge v) \wedge w\).
Cas 1 : la famille \((u,v)\) est liée.
Alors \(u \wedge v\) est nul, \(X\) également.
On vérifie facilement que deuxième membre de la formule est nul.
Cas 2 : la famille \((u,v)\) est libre.
Elle engendre un plan \(P\) dont \(u \wedge v\) est un vecteur normal.
Le vecteur \(X\) est orthogonal à \(u \wedge v\), donc appartient à \(P\) et est combinaison linéaire de la famille génratrice \((u,v)\) de \(P\). Il existe donc deux scalaires \(a\) et \(b\) tels que : \[X = au + bv.\]
Le vecteur \(X\) est orthogonal à \(w\) d'où : \[a(u \mid w) + b (v \mid w) = (au+bv \mid w) = (X \mid w) = 0\] donc il existe un scalaire \(t\) tel que :
\begin{align} a &= t(v \mid w) & b &= -t(u \mid w) \end{align}
On a obtenu, pour tout triplet \((u,v,w)\) : \[(u \wedge v) \wedge w = t \bigl( (v \mid w) u - (u \mid w) v \bigr),\] c'est-à-dire que les deux formes trilinéaires \((u,v,w) \mapsto (u \wedge v) \wedge w\) et \((u,v,w) \mapsto (v \mid w) u - (u \mid w) v\) sont proportionnelles.
Pour trouver le rapport \(t\) il suffit de les évaluer sur un triple \((u,v,w)\) qui ne les annule pas, par exemple une base orthonormé directe…
Voici une démonstration.
Soient $u,v,w$ des vecteurs d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Soit $v=\alpha i$, $\left\| i\right\|=1$, soit $\left\| j\right\| =1$, $j\perp i$, dans le plan $Vect(v,w)$, en sorte que : $w=\alpha ^{\prime }i+\beta j$.
Soit $k=i\wedge j$, alors $(i,j,k) $ est une base orthonormale directe.
On a : $u=\alpha^{\prime \prime }i+\beta ^{\prime }j+\gamma k$.
Alors : $v\wedge w=\alpha\beta k$, d'où : $u\wedge (v\wedge w)=-\alpha ^{\prime \prime }\alpha\beta j+\beta ^{\prime}\alpha \beta i$.
Par ailleurs : $(u\mid w)=\alpha ^{\prime \prime }\alpha ^{\prime }+\beta^{\prime }\beta $, et : $(u\mid v)=\alpha ^{\prime \prime }\alpha $, en sorte que : $(u\mid w)v-(u\mid v)w=(\alpha ^{\prime \prime }\alpha ^{\prime }+\beta^{\prime }\beta )\alpha i-\alpha ^{\prime \prime }\alpha (\alpha ^{\prime}i+\beta j)=\beta ^{\prime }\beta \alpha i-\alpha ^{\prime \prime }\alpha\beta j$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.