On donne un segment $[BC]$ . Un cercle $\Gamma$ de diamètre 1
lui est tangent en un point intérieur $T$ . Montrer que la somme
$$
\cot(\widehat{TAB}) + \cot(\widehat{TAC})
$$
ne dépend pas du choix de $A$ sur $\Gamma$ .
Bonjour à tous
Si j'ai bien compris l'énoncé de ce joli exercice de Soland, (mais où va-t-il les chercher?), les longueurs du segment $BC$ et du diamètre du cercle sont arbitraires.
J'ai fait la figure et constaté que ses affirmations étaient vraies.
Cela revient à montrer que:$$\dfrac{\sin(\beta+\gamma)}{\sin(\beta)\times\sin(\gamma)}=Cte$$On a sous les yeux une indigestion de sinus.
Serait-ce le moment où jamais d'appliquer la formule $S=\dfrac 12 b.c .sin(A)$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Effectivement, la piste indiquée par pappus permet de finaliser:
$\dfrac 1{\cot\beta}+\dfrac 1{\cot\gamma}=
\dfrac{\sin(\beta+\gamma)}{\sin(\beta)\times\sin(\gamma)}=\dfrac {sin\alpha}{\sin\beta\times\sin\gamma}$
$=\dfrac {2S}{b\sin\gamma\times c\sin\beta}=\dfrac {2S}{BB'\times CC'}$
où $B'$ et $C'$ sont les projetés orthogonaux de $B$ et $C$ sur $[AT)$ et $S$ est l'aire du triangle $ABC$
$=\dfrac {2S}{BT\times TC\times \cos^2\theta}$ où $\theta$ est l'angle $\widehat{ATT'}$
Soit maintenant $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $TAT'$. Ce triangle est rectangle en $A$ puisque $A$ appartient au cercle de diamètre $[TT']$, donc $TH=TT'\cos^2\theta$
Alors $\dfrac{2S}{cos^2\theta}=2Aire(BT'C)$
On a donc établi que :
$\dfrac 1{\cot\beta}+\dfrac 1{\cot\gamma}=\boxed{\dfrac {BC\times TT'}{BT\times TC}}$, ce qui est bien une constante. CQFD
@jacquot : Dans le cas général la constante est $d/\cot(ATB)+d/\cot(ATC)$
et un dénominateur de 1 est esthétiquement satisfaisant.
@pappus : Je cite d'anciens problèmes dont je me rappelle. Certains sont de moi,
d'autres non. A l'époque, je n'ai pas noté la source, ce qu'il faudrait faire.
Celui-ci n'est pas de moi.
P.S. En plus, j'ai la chance de bien comprendre l'allemand et l'anglais.
Merci Jacquot, d'avoir développé mon idée.
Quant à moi, j'avais plutôt projeté sur la droite $BC$ avec le petit avantage d'avoir des triangles de même hauteur issue de $A$.
Mais les calculs que j'avais fait, plus ou moins de tête, sont de même longueur que les tiens.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci Soland
Comprendre l'allemand, tu as de la chance, ce fut le rêve de toute ma vie.
Les rares mots entendus dans mon enfance: Wer da? Ausweiss? Ich habe ein Kameraden ne prêtaient pas à rire à l'époque.
J'aurais bien voulu lire Hilbert ou Van Der Warden dans le texte.
Cela me rappelle d'autres mathématiciens bilingues, tout d'abord Pierre Gabriel, un de tes compatriotes, que j'ai connu peu de temps car il venait souvent dans mon bureau à Chevaleret, relire les épreuves de son livre: matrices, géométrie, algèbre linéaire, publié chez Cassini, un ouvrage qu'il faut avoir sous la main à chaque instant.
C'est un homme très cordial et d'une très grande culture!
Tu es verni de pouvoir lire l'original!
Il a été traduit en français par d'autres mathématiciens que tu connais peut-être: Jean-Marie Arnaudiès que j'ai fréquenté à l'Ecole Normale et Jean-Denis Eiden qui lui aussi a écrit tant de beaux livres. Il nous fait l'honneur de nous rendre visite, hélas trop rarement!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tu as raison, Chaurien. Il est français.
Mais quand il m'avait dit que son livre était la traduction d'un cours qu'il avait donné à Zurich pendant de nombreuses années, je m'étais mis dans la tête qu'il était suisse.
Il y a certainement une morale à ma bévue mais laquelle? Elle n'est pas à mon avantage!
En tout cas, cet ouvrage bilingue de très grande qualité nous rappelle que l'amitié franco-allemande est maintenant une chose bien établie et c'est heureux malgré tous les griefs de ma propre famille!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Sachant que son livre avait été traduit de l'allemand, moi aussi je croyais que Pierre Gabriel était allemand. J'ai vérifié tout à l'heure pour écrire mon message.
Quoi qu'il en soit, Français, Allemands, Suisses, nous appartenons à la grande civilisation européenne, avec pour nous sa brillante et inégalée tradition mathématique.
Je regrette aussi de ne pas maîtriser mieux les langues étrangères. Généralement les livres importants sont traduits en anglais, et parfois en français, mais je suis tombé une fois sur un livre en allemand qui n'avait pas été traduit en anglais ni en français : Niedere Zahlentheorie de Paul Bachmann (1901), qui pour autant que je puisse en juger me semble pourtant intéressant. Il y a aussi Teoria Liczb de Sierpinski (1950), qui semble plus développé que Elementary theory of numbers.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Th. du sinus dans le triangle $(ATB)$ :
$$
\frac{\sin\beta}{TB} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{AT} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha}
$$
$$
\frac{1}{TB} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\beta+\cot\alpha
$$
Même chose pour le le triangle $(ATC)$ ; le signe devant $\cot\alpha$ change.
Bonsoir
Sur la figure, le triangle $ABC$ étant d'aire $S$, on a $2S=CA\cdot CB\cdot \sin \widehat{C}=CA^{2}\dfrac{CB}{CU}$ et $CA^{2}=S_{A}+S_{C}=2S\left( \cot \widehat{A}+\cot \widehat{C}\right) $.
So $\cot \widehat{A}+\cot \widehat{C}=\dfrac{CU}{CB}$.
En l'appliquant aux triangles $ABT$ et $ACT$ du problème de Christoph, on a, si $U$ est le point diamétralement opposé à $T$ sur $\Gamma $,
$\cot \widehat{TAB}+\cot \widehat{ATB}=\dfrac{TU}{TB}$ et $\cot \widehat{TAC}+\cot \widehat{ATC}=\dfrac{TU}{TC}$; d'où $\cot \widehat{TAB}+\cot \widehat{TAC}=d\left( \dfrac{1}{TB}+\dfrac{1}{TC}\right) $ où $d$ est le diamètre de $\Gamma $.
Amicalement. Poulbot
Bonjour
Quelques variantes avec des angles orientés de droites.
$B,C,T$ étant alignés
- $A\rightarrow \cot \left( AT,AB\right) -\cot \left( AT,AC\right) $ est constante sur les cercles tangents en $T$ à la droite $BC$
- $A\rightarrow \cot \left( AT,AB\right) +\cot \left( AT,AC\right) $ est constante sur les cercles passant par $T$ et son conjugué harmonique par rapport à $B$ et $C$ (sur les droites passant par $T$ si $T$ est le milieu de $\left[ BC\right] $)
Pour le vérifier : si, en orthonormé, $T=\left[ 0,0\right] ,B=\left[ b,0\right] ,C=\left[ c,0\right] ,A=\left[ x,y\right] $, on a
$\cot \left( AT,AB\right) =\dfrac{x^{2}+y^{2}-bx}{by}$ et $\cot \left( AT,AC\right) =\dfrac{x^{2}+y^{2}-cx}{cy}$.
Si maintenant $B,C,T,T^{\prime }$ sont alignés sur une droite $\Delta $, en général :
- $A\rightarrow \cot \left( AT,AB\right) -\cot \left( AT^{\prime },AC\right) $ est constante sur les cercles passant par les points fixes (réels ou non) de l'involution de $\Delta $ qui échange $B$ et $T^{\prime }$ ainsi que $C$ et $T$
- $A\rightarrow \cot \left( AT,AB\right) +\cot \left( AT^{\prime },AC\right) $ est constante sur les cercles passant par les points fixes (réels ou non) de l'involution de $\Delta $ qui échange $B$ et $C$ ainsi que $T$ et $T^{\prime }$
Je m'associe aux intervenants de cette discussion pour remercier soland de nous soumettre ces questions délicates et variées qui mènent souvent à des développements fort intéressants (voir aussi par ici).
Christoph agit à la manière d'un pêcheur qui lance sa ligne dans les eaux calmes. Il attend alors patiemment que le bouchon frétille.
Bonne journée à tous. jacquot
Réponses
Il faut préciser que ton segment $[BC]$ est unitaire et que tes angles $\beta$ et $\gamma$ ne sont pas orientés.
Amicalement. jacquot
(A) Ce n'est pas nécessaire.
(B) Non orientés, bien sûr.
Si j'ai bien compris l'énoncé de ce joli exercice de Soland, (mais où va-t-il les chercher?), les longueurs du segment $BC$ et du diamètre du cercle sont arbitraires.
J'ai fait la figure et constaté que ses affirmations étaient vraies.
Cela revient à montrer que:$$\dfrac{\sin(\beta+\gamma)}{\sin(\beta)\times\sin(\gamma)}=Cte$$On a sous les yeux une indigestion de sinus.
Serait-ce le moment où jamais d'appliquer la formule $S=\dfrac 12 b.c .sin(A)$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
$\dfrac 1{\cot\beta}+\dfrac 1{\cot\gamma}=
\dfrac{\sin(\beta+\gamma)}{\sin(\beta)\times\sin(\gamma)}=\dfrac {sin\alpha}{\sin\beta\times\sin\gamma}$
$=\dfrac {2S}{b\sin\gamma\times c\sin\beta}=\dfrac {2S}{BB'\times CC'}$
où $B'$ et $C'$ sont les projetés orthogonaux de $B$ et $C$ sur $[AT)$ et $S$ est l'aire du triangle $ABC$
$=\dfrac {2S}{BT\times TC\times \cos^2\theta}$ où $\theta$ est l'angle $\widehat{ATT'}$
Soit maintenant $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $TAT'$. Ce triangle est rectangle en $A$ puisque $A$ appartient au cercle de diamètre $[TT']$, donc $TH=TT'\cos^2\theta$
Alors $\dfrac{2S}{cos^2\theta}=2Aire(BT'C)$
On a donc établi que :
$\dfrac 1{\cot\beta}+\dfrac 1{\cot\gamma}=\boxed{\dfrac {BC\times TT'}{BT\times TC}}$, ce qui est bien une constante. CQFD
et un dénominateur de 1 est esthétiquement satisfaisant.
@pappus : Je cite d'anciens problèmes dont je me rappelle. Certains sont de moi,
d'autres non. A l'époque, je n'ai pas noté la source, ce qu'il faudrait faire.
Celui-ci n'est pas de moi.
P.S. En plus, j'ai la chance de bien comprendre l'allemand et l'anglais.
Quant à moi, j'avais plutôt projeté sur la droite $BC$ avec le petit avantage d'avoir des triangles de même hauteur issue de $A$.
Mais les calculs que j'avais fait, plus ou moins de tête, sont de même longueur que les tiens.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Comprendre l'allemand, tu as de la chance, ce fut le rêve de toute ma vie.
Les rares mots entendus dans mon enfance: Wer da? Ausweiss? Ich habe ein Kameraden ne prêtaient pas à rire à l'époque.
J'aurais bien voulu lire Hilbert ou Van Der Warden dans le texte.
Cela me rappelle d'autres mathématiciens bilingues, tout d'abord Pierre Gabriel, un de tes compatriotes, que j'ai connu peu de temps car il venait souvent dans mon bureau à Chevaleret, relire les épreuves de son livre: matrices, géométrie, algèbre linéaire, publié chez Cassini, un ouvrage qu'il faut avoir sous la main à chaque instant.
C'est un homme très cordial et d'une très grande culture!
Tu es verni de pouvoir lire l'original!
Il a été traduit en français par d'autres mathématiciens que tu connais peut-être: Jean-Marie Arnaudiès que j'ai fréquenté à l'Ecole Normale et Jean-Denis Eiden qui lui aussi a écrit tant de beaux livres. Il nous fait l'honneur de nous rendre visite, hélas trop rarement!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mais quand il m'avait dit que son livre était la traduction d'un cours qu'il avait donné à Zurich pendant de nombreuses années, je m'étais mis dans la tête qu'il était suisse.
Il y a certainement une morale à ma bévue mais laquelle? Elle n'est pas à mon avantage!
En tout cas, cet ouvrage bilingue de très grande qualité nous rappelle que l'amitié franco-allemande est maintenant une chose bien établie et c'est heureux malgré tous les griefs de ma propre famille!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Quoi qu'il en soit, Français, Allemands, Suisses, nous appartenons à la grande civilisation européenne, avec pour nous sa brillante et inégalée tradition mathématique.
Je regrette aussi de ne pas maîtriser mieux les langues étrangères. Généralement les livres importants sont traduits en anglais, et parfois en français, mais je suis tombé une fois sur un livre en allemand qui n'avait pas été traduit en anglais ni en français : Niedere Zahlentheorie de Paul Bachmann (1901), qui pour autant que je puisse en juger me semble pourtant intéressant. Il y a aussi Teoria Liczb de Sierpinski (1950), qui semble plus développé que Elementary theory of numbers.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
$\angle{ATB}=\alpha\;,\;\angle{TAB}=\beta\;,\;\angle{TAC}=\gamma$
Th. du sinus dans le triangle $(ATB)$ :
$$
\frac{\sin\beta}{TB} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{AT} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha}
$$
$$
\frac{1}{TB} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\beta+\cot\alpha
$$
Même chose pour le le triangle $(ATC)$ ; le signe devant $\cot\alpha$ change.
Sur la figure, le triangle $ABC$ étant d'aire $S$, on a $2S=CA\cdot CB\cdot \sin \widehat{C}=CA^{2}\dfrac{CB}{CU}$ et $CA^{2}=S_{A}+S_{C}=2S\left( \cot \widehat{A}+\cot \widehat{C}\right) $.
So $\cot \widehat{A}+\cot \widehat{C}=\dfrac{CU}{CB}$.
En l'appliquant aux triangles $ABT$ et $ACT$ du problème de Christoph, on a, si $U$ est le point diamétralement opposé à $T$ sur $\Gamma $,
$\cot \widehat{TAB}+\cot \widehat{ATB}=\dfrac{TU}{TB}$ et $\cot \widehat{TAC}+\cot \widehat{ATC}=\dfrac{TU}{TC}$; d'où $\cot \widehat{TAB}+\cot \widehat{TAC}=d\left( \dfrac{1}{TB}+\dfrac{1}{TC}\right) $ où $d$ est le diamètre de $\Gamma $.
Amicalement. Poulbot
Quelques variantes avec des angles orientés de droites.
$B,C,T$ étant alignés
- $A\rightarrow \cot \left( AT,AB\right) -\cot \left( AT,AC\right) $ est constante sur les cercles tangents en $T$ à la droite $BC$
- $A\rightarrow \cot \left( AT,AB\right) +\cot \left( AT,AC\right) $ est constante sur les cercles passant par $T$ et son conjugué harmonique par rapport à $B$ et $C$ (sur les droites passant par $T$ si $T$ est le milieu de $\left[ BC\right] $)
Pour le vérifier : si, en orthonormé, $T=\left[ 0,0\right] ,B=\left[ b,0\right] ,C=\left[ c,0\right] ,A=\left[ x,y\right] $, on a
$\cot \left( AT,AB\right) =\dfrac{x^{2}+y^{2}-bx}{by}$ et $\cot \left( AT,AC\right) =\dfrac{x^{2}+y^{2}-cx}{cy}$.
Si maintenant $B,C,T,T^{\prime }$ sont alignés sur une droite $\Delta $, en général :
- $A\rightarrow \cot \left( AT,AB\right) -\cot \left( AT^{\prime },AC\right) $ est constante sur les cercles passant par les points fixes (réels ou non) de l'involution de $\Delta $ qui échange $B$ et $T^{\prime }$ ainsi que $C$ et $T$
- $A\rightarrow \cot \left( AT,AB\right) +\cot \left( AT^{\prime },AC\right) $ est constante sur les cercles passant par les points fixes (réels ou non) de l'involution de $\Delta $ qui échange $B$ et $C$ ainsi que $T$ et $T^{\prime }$
Amicalement. Poulbot
Christoph agit à la manière d'un pêcheur qui lance sa ligne dans les eaux calmes. Il attend alors patiemment que le bouchon frétille.
Bonne journée à tous. jacquot