produits scalaires des cotés d'un losange

Bonjour.

Vu le contenu du second membre, décomposer les deux vecteurs du produit scalaire en passant par B devrait faire l'affaire. Bon travail !

Bonsoir,
Il ne serait pas un peu particulier ton losange ?

Bonsoir
L'égalité demandée s'écrit aussi:
$$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}+\frac{a^2}{2}.$$
Je veux bien croire que la fonction:
$M \mapsto \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}$ est constante mais elle ne prend pas en général la valeur $\dfrac{a^2}{2}$.
D'où la question: quelle doit être la forme du losange pour que l'énoncé soit vrai?
Sur ma figure un losange possible, comment étiqueter les sommets?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,
En imposant $\widehat{ABC} = 60°$ le résultat est vrai.
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}).(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}) = MB^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} =MB^2+\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=MB^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}.$
Mais, on a :
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = BA.BC.cos(\widehat{ABC}).$
Or par hypothèse $BA=BC= a.$ Donc:
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = a^2.cos(\widehat{ABC}) \iff \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = a^2.cos(60°)=\dfrac{a^2}{2}.$
Par suite, on a :
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=MB^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{BD}+\dfrac{a^2}{2}.$