Courbure d'une surface "plate" et Laplacien

Bonjour,

Je cherche à calculer la courbure moyenne, K, d'une surface définie analytiquement par X (u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) mais qui a la caractéristique d'être "presque" plane (déviation réduite, de second ordre, par rapport à une surface plane).

J'ai lu que dans ce cadre, cette courbure moyenne pouvait être calculée plus simplement,directement par le Laplacien de la fonction définissant la surface. J'aimerais savoir où je pourrais trouver une démonstration de ce résultat.

A priori, dans ce cas, je pense que la surface doit se mettre sous la forme z = f(x,y)). L'expression de la courbure doit pouvoir prendre la forme analytique habituelle, avec l’utilisation des dérivées premières et seconde de f par rapport à x et y, mais je ne sais pas comment démontrer rigoureusement ce résultat sur le fait que l'expression analytique de la courbure tende vers le Laplacien de f(x,y).

D'autre part, si la fonction conserve sa forme originelle X (u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , est ce des résultats similaires sont accessibles, correspondant, notamment, aux approximations des termes des première et second formes fondamentales pour déterminer K ?

En vous remerciant de votre aide,

Nathan