Feuerbach

Bonjour
On connait le rayon du cercle circonscrit $R=2NT$ et le rayon du cercle inscrit $r=IT$
La distance $d=OI$ du centre $O$ du cercle circonscrit $\Gamma$ au centre $I$ du cercle inscrit $\gamma$ est connue et donnée par la relation d'Euler:
$$d^2=R^2-2Rr$$
On trace donc le cercle $\lambda$ de centre $I$ et de rayon $d$.
On choisit un point $O$ quelconque sur $\lambda$. Le cercle circonscrit $\Gamma$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $R$.
Tout triangle $ABC$ inscrit dans $\Gamma$ et circonscrit à $\gamma$ devrait convenir.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Pierre
J'aurais dû faire la figure avant de parler!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,
Je fais remonter cette discussion:
la dernière phrase de mon dernier message attendait une réponse qui n'est peut-être pas venue parce que la question n'est pas assez clairement posée. essayons donc de clarifier...

Le problème posé par soland était: étant donnés les points $N,I,T$ respectivement centres du cercle des 9 points, cercle inscrit et point de tangence de ces deux cercles d'un triangle, est-il possible de retrouver le triangle par une construction géométrique (au sens académique)?

La réponse est délicate, puisqu'il n'y a pas une mais une infinité de triangles-solutions.
Supposons donc que soland a fait une photo de son triangle $ABC$ avec ses points $N,I,T$ avant de tout effacer sauf ces trois points et qu'il nous demande de retrouver son triangle. Ça ne sera pas possible s'il ne nous donne pas une information supplémentaire.
S'il nous donne l'angle $\theta=\widehat {IOA}$, $O$ étant le centre du cercle circonscrit, on saura retrouver son triangle par la construction décrite dans mon message précédent:
On construit la distance $d$ comme indiqué dans son message plus haut,
On place un point $O$ n'importe où sur le cercle de centre $I$ et de rayon $d$ puis on place le point $P$ sur le cercle de centre $O$ et de rayon $R$ de sorte que $\widehat {IOA}=\theta$. On referme alors le triangle $PQR$ en menant des tangentes au cercle inscrit dont on connaît le centre et le rayon.
Le cercle de Feuerbach du triangle $PQR$ n'est peut-être pas le bon, mais il suffit de faire tourner le tout pour obtenir le triangle $ABC$ de soland avec juste une permutation éventuelle des noms des sommets $B$ et $C$
Mais si soland nous donne l'angle $\omega=\widehat {TIO}$ qui caractérise lui aussi son triangle d'après les propos de pldx1ci-dessus, alors je ne sais pas construire son triangle avec règle et compas, puisque la solution (modulo les 6 permutations des noms des sommets) a été obtenue par un ajustement continu à l'aide de GeoGebra.
.

Alors le problème de soland est-il résolu, oui ou non ?
La question se ramène pour moi à savoir exprimer $\theta$ en fonction de $\omega$ et de savoir si, pour un $\omega$ donné, $\theta$ est constructible.
Mais je suis peut-être en train de faire subir des outrages à des mouches qui ne sont en rien concernées 8-).
Amicalement. jacquot