Combinaisons de deux coniques réelles

Elles se trouvent partout ! Voici un exemple avec $x^2+y^2=1$ et $\frac{(x-1)^2}4+y^2-2$.

Une piste pour chercher (cf. le livre de Michèle Audin) : on note $p_1,\dots,p_4$ les quatre points d'intersection des coniques initiales, d'équations $q_1=0$ et $q_2=0$. Pour tout point $p$ distinct des précédents, l'unique conique qui passe par $p_1,\dots,p_4$ et $p$ est de la forme $\lambda q_1+(1-\lambda)q_2=0$ et on peut calculer $\lambda$ en fonction du birapport des droites $(pp_i)$. Reste à se convaincre que le fait que les points $p_i$ sont complexes n'est pas un problème.

Certaines de ces courbes peuvent être vides, par exemple, dans l'exemple ci-dessus, celle qui a pour équation $q_1-q_2=0$.

Bonjour Yvette
"Peut-on avoir une conique de leurs faisceau qui soit vide ?"
Bien sur ; pense à $2$ cercles concentriques.
Amicalement. Poulbot