Tétraèdres

J'ai l'impression que ce minimum est nul.

Même si l'on n'a pas le droit, autrement dit si chacun des points $A',B',C',D'$ est contraint de se situer dans la face triangulaire ouverte, on peut les placer au voisinage d'un sommet, et alors il n'y a pas de minimum mais une borne inférieure, qui je répète me semble nulle.
On pourrait chercher le maximum du volume du tétraèdre « cévien » $A'B'C'D'$, c'est-à-dire tel que les droites $AA',BB',CC',DD'$ sont concourantes. J'y pense parce que j'ai traité naguère le problème pour un triangle, mais pour l'instant je ne sais pas si ça se transporte au tétraèdre.
Bon courage.
Fr. Ch.

Bonjour Chaurien
Brièvement, $V$ est le volume du tétraèdre $ABCD$; prenant $\left( A,B,C,D\right) $ comme repère barycentrique, soit $M$ de coordonnées barycentriques normalisées $\left( x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}\right) $ un point intérieur au tétraèdre et $V_{M}$ le volume de son tétraèdre cévien $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$.
$f$ étant l'application affine $A,B,C,D\rightarrow A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, on a
$\dfrac{V_{M}}{V}=\left\vert \det \overrightarrow{f}\right\vert =3\dfrac{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}{\left( 1-x_{1}\right) \left( 1-x_{2}\right) \left( 1-x_{3}\right) \left( 1-x_{4}\right) }$.
Il en résulte que $V_{M}$ est maximal quand $M$ est l'isobarycentre de $A,B,C,D$ et qu'on a alors $V_{M}=\dfrac{1}{27}V$.
Amicalement. Poulbot