Soit ABCD tétraèdre dont les arêtes ont des longueurs toutes différentes.
Placer A' dans la face BCD, B' dans la face ACD etc. de manière à rendre
le volume A'B'C'D' minimal.
Même si l'on n'a pas le droit, autrement dit si chacun des points $A',B',C',D'$ est contraint de se situer dans la face triangulaire ouverte, on peut les placer au voisinage d'un sommet, et alors il n'y a pas de minimum mais une borne inférieure, qui je répète me semble nulle.
On pourrait chercher le maximum du volume du tétraèdre « cévien » $A'B'C'D'$, c'est-à-dire tel que les droites $AA',BB',CC',DD'$ sont concourantes. J'y pense parce que j'ai traité naguère le problème pour un triangle, mais pour l'instant je ne sais pas si ça se transporte au tétraèdre.
Bon courage.
Fr. Ch.
Soit $h$ la distance du sommet $A$ au plan $BCD$.
Soit un plan $P$ parallèle au plan $BCD$, situé du même côté de ce plan que le sommet $A$, et à une distance $x$ du plan $BCD$, avec $0<x<h$.
Ce plan $P$ coupe $AB$ en $B_1$, il coupe $AC$ en $C_1$, il coupe $AD$ en $D_1$.
On prend $D'$ dans le segment ouvert $]B_1,C_1[$, et $B'$ dans $]C_1,D_1[$, et $C'$ dans $]B_1,D_1[$, et $A'$ n'importe où dans le triangle ouvert $BCD$.
Ce tétraèdre $A'B'C'D'$ convient et son volume est majoré par $\frac 13xS_{BCD}$, qui tend vers $0$ avec $x$.
Bonjour Chaurien
Brièvement, $V$ est le volume du tétraèdre $ABCD$; prenant $\left( A,B,C,D\right) $ comme repère barycentrique, soit $M$ de coordonnées barycentriques normalisées $\left( x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}\right) $ un point intérieur au tétraèdre et $V_{M}$ le volume de son tétraèdre cévien $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$.
$f$ étant l'application affine $A,B,C,D\rightarrow A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, on a
$\dfrac{V_{M}}{V}=\left\vert \det \overrightarrow{f}\right\vert =3\dfrac{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}{\left( 1-x_{1}\right) \left( 1-x_{2}\right) \left( 1-x_{3}\right) \left( 1-x_{4}\right) }$.
Il en résulte que $V_{M}$ est maximal quand $M$ est l'isobarycentre de $A,B,C,D$ et qu'on a alors $V_{M}=\dfrac{1}{27}V$.
Amicalement. Poulbot
Oui, je trouve la même chose pour un triangle et je pensais bien qu'il en irait de même pour un tétraèdre. Le calcul barycentrique est le plus adapté pour ce problème, et conduit in fine à un problème d'inégalité.
Amicalement.
Fr. Ch.
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Edit : bigre, ça dégaine vite !!!
On pourrait chercher le maximum du volume du tétraèdre « cévien » $A'B'C'D'$, c'est-à-dire tel que les droites $AA',BB',CC',DD'$ sont concourantes. J'y pense parce que j'ai traité naguère le problème pour un triangle, mais pour l'instant je ne sais pas si ça se transporte au tétraèdre.
Bon courage.
Fr. Ch.
Soit un plan $P$ parallèle au plan $BCD$, situé du même côté de ce plan que le sommet $A$, et à une distance $x$ du plan $BCD$, avec $0<x<h$.
Ce plan $P$ coupe $AB$ en $B_1$, il coupe $AC$ en $C_1$, il coupe $AD$ en $D_1$.
On prend $D'$ dans le segment ouvert $]B_1,C_1[$, et $B'$ dans $]C_1,D_1[$, et $C'$ dans $]B_1,D_1[$, et $A'$ n'importe où dans le triangle ouvert $BCD$.
Ce tétraèdre $A'B'C'D'$ convient et son volume est majoré par $\frac 13xS_{BCD}$, qui tend vers $0$ avec $x$.
Et mon tétraèdre cévien ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Brièvement, $V$ est le volume du tétraèdre $ABCD$; prenant $\left( A,B,C,D\right) $ comme repère barycentrique, soit $M$ de coordonnées barycentriques normalisées $\left( x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}\right) $ un point intérieur au tétraèdre et $V_{M}$ le volume de son tétraèdre cévien $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$.
$f$ étant l'application affine $A,B,C,D\rightarrow A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, on a
$\dfrac{V_{M}}{V}=\left\vert \det \overrightarrow{f}\right\vert =3\dfrac{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}{\left( 1-x_{1}\right) \left( 1-x_{2}\right) \left( 1-x_{3}\right) \left( 1-x_{4}\right) }$.
Il en résulte que $V_{M}$ est maximal quand $M$ est l'isobarycentre de $A,B,C,D$ et qu'on a alors $V_{M}=\dfrac{1}{27}V$.
Amicalement. Poulbot
Amicalement.
Fr. Ch.