Aire engendrée par un arc de cercle

On peut sans doute arriver à ses fins aussi par le calcul d'une intégrale. Mais j'aime bien honorer la mémoire de ce mathématicien suisse qui est aussi notre gloire locale ;-).

Par contre le calcul à la Guldin qui te repugnait me semble moins évident : il faut d'abord savoir placer le centre de gravité de l'arc de cercle.
Le théorème de Guldin est plus pratique pour traiter la question réciproque : connaissant l'aire du segment de sphère, déterminer la position du centre de gravité de l'arc de cercle.
Amicalement. jacquot

Il me semble que Jacquot t'a déjà donné une explication qui ne demande ni détermination de centre de gravité, ni virtuosité de calcul intégral. L'as-tu bien lue, et y as-tu bien réfléchi ?
Il s'agit d'évaluer l'aire d'une fine tranche de sphère. Je refais le dessin en plus gros. On veut calculer l'aire de la fine tranche de sphère entre les deux niveaux pointillés. On fait tourner autour de l'axe vertical le petit segment $MM'$ de longueur $R\,\delta\theta$, distant de l'axe de $R\,\cos\theta$ ; on a une petite aire $2\pi R^2\,\cos\theta\,\delta\theta$. Or la différence de niveaux $\delta h$ vaut $R\,\cos\theta\,\delta\theta$. L'aire de la tranche infinitésimale de sphère vaut donc $2\pi R\,\delta h$, elle ne dépend que de la différence de niveaux et pas de $\theta$. C'est l'aire de la tranche infinitésimale de hauteur $\delta h$ du cylindre de rayon $R$.

Si tu admets au départ que l'aire d'une calotte est $2\pi R h$, il n'y a vraiment plus besoin de se fatiguer. Mais pourquoi est-ce que l'aire d'une calotte est $2\pi R h$ ? N'as-tu pas l'impression de tourner en rond ? :-D