Pythagore somme de carrés parfaits
dans Arithmétique
Bonjour.
En tant qu'amateur a temps perdu le dimanche, m'est venu l'idée de faire un tableau de la somme des carré parfait.
La question est combien faut il sommer de carré parfait au maximum pour obtenir un carré parfait?
La réponse me semble être 4.
On pourrait donc conjecturer.
Pour sommer plusieurs carré parfait égaux a un carré parfait il faut au plus en sommer 4.
En scrutant le tableau on s'aperçois qu'il y a plusieurs régularités mis en évidence par couleurs.
La couleur orange peut s'exprimer sous de la forme $(3n)^2=(2n)^2+(2n)^2+n^2$
La couleur magenta peut s'exprimer sous de la forme $2^n=2^{n-1}+2^{n-1}+2^{n-1}+2^{n-1}$
En vert un carré parfait qui peut s'exprimer par la somme de deux carrés parfait mais totalement chaotique.
Et en blanc se que je n'ai pas réussi a classifier.
J’imagine que se genre de classification a déjà du être faite a l’époque des pythagoricienne.
Se qui serait intéressant serait de trouver une formule pour la partie chaotique et le reste voir une formule générale.
J’espère que cela va vous distraire.
Cordialement,
Thomas
En tant qu'amateur a temps perdu le dimanche, m'est venu l'idée de faire un tableau de la somme des carré parfait.
La question est combien faut il sommer de carré parfait au maximum pour obtenir un carré parfait?
La réponse me semble être 4.
On pourrait donc conjecturer.
Pour sommer plusieurs carré parfait égaux a un carré parfait il faut au plus en sommer 4.
En scrutant le tableau on s'aperçois qu'il y a plusieurs régularités mis en évidence par couleurs.
La couleur orange peut s'exprimer sous de la forme $(3n)^2=(2n)^2+(2n)^2+n^2$
La couleur magenta peut s'exprimer sous de la forme $2^n=2^{n-1}+2^{n-1}+2^{n-1}+2^{n-1}$
En vert un carré parfait qui peut s'exprimer par la somme de deux carrés parfait mais totalement chaotique.
Et en blanc se que je n'ai pas réussi a classifier.
J’imagine que se genre de classification a déjà du être faite a l’époque des pythagoricienne.
Se qui serait intéressant serait de trouver une formule pour la partie chaotique et le reste voir une formule générale.
J’espère que cela va vous distraire.
Cordialement,
Thomas
Réponses
-
Tout nombre entier positif (carré ou non) est somme de quatre carrés, conjecturé par Bachet de Méziriac en 1621 et prouvé par Lagrange en 1770.
Bravo pour la redécouverte.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Voici quelques faits à propos des entiers naturels.
Tout entier est le produit d'un carré par un entier sans facteurs carrés.
P.ex. $57\,200=400\times 143$, où $400=20^2$ et $143 = 11 \times 13$ .
Aucun carré ne divise 143 .
La possibilité de représenter un entier comme somme de un, deux ou trois carrés
non nuls dépend uniquement de son facteur sans carrés (143 dans l'exemple).
Je note $nc(n)$ le facteur non carré de $n$ . P.ex.
$nc(57\,200)=143$ , $nc(1001)=nc(7\times 11\times 13)=1001$ , $nc(81)=nc(9^2)=1$ ,
$nc(12)=nc(4\times 3)=3$ etc.
Théorèmes :
Si $nc(n)=1$ , càd. si $n$ est un carré, on peut le représenter comme "somme" de un carré (évidemment).
La réciproque est vraie.
Si la factorisation de $nc(n)$ en nombres premiers ne comporte que des facteurs du type $4k+1$ ,
on peut représenter $n$ comme "somme" de deux carrés (pas évident). La réciproque est vraie.
P.ex $117=3^2\times 13=3^2\times(4\times 3+1)= 6^2+9^2$ .
Si la division de $nc(n)$ par 8 laisse un reste différent de 7 , on peut représenter $n$
comme "somme" de trois carrés (preuve très,très difficile). La réciproque est vraie.
P.ex. $43=8\times 5+3=3^2+3^2+5^2$ , $49=8\times 6+1=6^2+3^2+1^2$ .
Tout nombre est une somme de quatre carrés (preuve difficile).
P.ex. $47=2^2+3^2+3^2+5^2$, $799=1^2+2^2+5^2+25^2$.
NB. Certains carrés peuvent être nuls.
Bonne chance pour la suite. -
Maintenant que c'est réglé, je te suggère de corriger les fautes d'orthographe qui parsèment ton message (« sella »).
-
Bien sûr mon dernier message ne s'adresse pas à Soland ;-)
-
Signalons un phénomène arrivé le $15$ août $2017$ : $15^2+8^2=17^2$.
-
Oui merci.
Je retiens donc.
Bachet de Méziriac en 1621 et prouvé par Lagrange en 1770. -
Merci Soland pour ces rappels. Ne décourage pas les bonnes volontés en pointant la difficultés des preuves.
On peut se poser plusieurs questions avec les sommes de carrés, en nombre tel ou tel, nuls ou non, voir : http://oeis.org/wiki/Sums_of_squares.
Et l'on peut aussi envisager les sommes de puissances, le problème de Waring, etc.
Une jolie propriété est le théorème de Sprague (1948) : tout entier $n>128$ est somme de carrés inégaux.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Bon dimanche, Chaurien.
-
Bon dimanche, Soland.
-
La preuve que tout entier est somme d'au plus 4 carrés se fait par réduction au cas des nombres premiers.
Il me semble qu'on peut montrer que si $m,n$ sont des sommes de 4 carrés alors leur produit l'est aussi.
(cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_quatre_carrés_de_Lagrange )
identité qui peut être vue, me semble-t-il, comme une propriété d'une norme sur les quaternions.
Une preuve en une "phrase" qu'un nombre premier de la forme $4n+1$ est somme de deux carrés.
https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2323918/fulltext.pdf
PS:
Ce type de résultat ne concerne pas que la décomposition en somme de carrés mais en somme de toute puissance.
cf. problème de Waring: https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_de_Waring -
La preuve du théorème des 4 carrés était faite dans les anciennes versions du "Que sais-je" "L'arithmétique" (ceux de Borel et de Boll); la version plus récente parle plus de théorie des nombres vue par l'analyse et ne comporte plus ça. Mais on peut trouver parfois ces petits livres chez des bouquinistes.
Cordialement. -
gerard0 tes références sont trop imprécises.
-
Vu que ces "Que sais-je ?" ne sont plus édités...
Mais tu as raison, le titre était "Les nombres premiers" (Emile Borel 1953 puis Tennenbaum-Mendes France 1997), et j'ai confondu Marcel Boll avec Jean Itard, auteur de "Arithmétique et théorie des nombres", qui complétait le livre de Borel.
Cordialement. -
Références pour tout entier est somme de 4 carrés
1) Samuel, Théorie algébrique des nombres, chap V, section 7, théorème 1 (Lagrange). Utilisation des quaternions de Hurwitz. Note : conduit à un algorithme efficace si on fait ce qu'il faut.
2) Ireland & Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, chap 17, section 7. Idem conduit à un algorithme.
3) Preuve ``analytique'' : Jean Varouchas, Autour de la formule de Jacobi, RMS, numéro 4, juillet 2002. La fameuse série de Jacobi qui compte le nombre de décompositions en somme de 4 carrés. Et beaucoup d'autres. Un régal même si on est un peu perdu au début face à toutes ces identités dans $\Zq$, voire dans $\Zz,q$.
Note : j'ai donné en problème la version 2) à des petit(e)s de Licence avec en prime des détails effectifs. J'estime que c'est donc accessible à ce niveau là. -
Je confirme qu'il y a une démonstration, chapitre VIII, p101, du "théorème des 4 carrés" dans le Que-sais-je? écrit par Jean Itard,1969.
On a aussi une telle démonstration dans le livre de Emile Borel, chapitre V, p75, même éditeur, même intitulé, 1958.
(je viens de vérifier).
(j'aime beaucoup le livre de Jean Itard que j'ai découvert en premier) -
Cherchant des informations au sujet du « Que Sais-je ? » de Jean Itard, je tombe sur :
http://plouffe.fr/simon/math/QSJ0571aNombresPremiers.pdf
sans l'avoir voulu, promis.
Profitez-en... -
Bonsoir,
Tu n'aurais pas l'article de Jean Varouchas par hasard, tant que tu y es ?
Cordialement,
Rescassol -
Il est intéressant de parcourir le site de S. Plouffe.
(ma version de ce livre de Jean Itard a une couverture jaune) -
Désolé Rescassol je ne le trouve pas sur le site et je ne l'ai pas en version papier.
Bonne soirée quand même.
Fr. Ch. -
Bonsoir Rescassol,
Je sais que tu aimes bien programmer. D'ailleurs, sur ce forum, qui n'a pas entendu parler de ``rescassolisation'' ?
Souhaites tu programmer (de manière efficace) l'écriture d'un premier comme somme de 4 carrés dans ton langage préféré ? Ce faisant, tu disposeras d'une preuve du résultat (il ne peut en être autrement) et tu pourras épater des ami(e)s. -
Charles Small A simple proof of the four-squares theorem
American Mathematical Monthly Vol 89, 1, (1982) pp 59--61.
La démonstration se passe chez les matrices \( 2\times2 \) à coefficients dans \( \Z[ i] \).
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonsoir,
Oui Claude, c'est l'idée que j'avais, en Matlab ou en Python.
J'ai le livre de Samuel, mais ni celui de Ireland & Rosen, ni l'article de Varouchas.
Cordialement,
Rescassol -
@Rescassol
J'attache une épreuve corrigée. C'est la méthode tirée de Ireland et Rosen ; plus facile à implémenter que celle figurant dans Samuel car dans la méthode décrite dans Samuel, il faut prendre en charge l'aspect principal de l'anneau non commutatif des quaternions de Hurwitz, ce qui demande un peu de travail. Pour rendre efficace leur méthode (de Ireland & Rosen), pour des grands premiers $p$, il faut rendre efficace la recherche d'un point sur $\mathbb F_p$ de la conique $x^2 + y^2 + 1 = 0$. C'est l'objet de la question f. (je ne sais plus si je tire cela de Ireland & Rosen). Il y a une implémentation en maple mais elle n'était pas demandée aux étudiant(e)s. Je n'utilise plus du tout ce langage. -
Bonsoir,
Merci Claude, je vais étudier ça.
Cordialement,
Rescassol -
PS: C'est cette vidéo qui m'a amenée à me poser la question.
La somme de deux carré parfait est elle égal à un carré parfait?
La réponse est oui et non.
Oui mais pas pour n'importe quel carré.
Sympathique ces petites vidéos, j'apprends vite tout en me divertissant.
Formule générale:
$\prod _{k=1}^{2n}k!=\prod _{k=1}^{n}(((2k-1)!)^2)2k$
$\prod _{k=1}^{2n}k!=(\prod _{k=1}^{n}((2k-1)!)^2)2^nn!$
-La réponse est $n!$
$\prod _{k=1}^{2n}k!=\prod _{k=1}^{n}(2k-1)!(2k)!$
$\prod _{k=1}^{n}(2k-1)!(2k)!=(\prod _{k=1}^{n}((2k-1)!)^2)2^nn!$
$\prod _{k=1}^{n}k!=\frac{(\prod _{k=1}^{n}((2k-1)!)^2)2^nn!}{\prod _{k=1}^{n}\frac{(2k)!(2k-1)!}{k!}}$
-La réponse est $\frac{n!}{\prod _{k=1}^{n}\frac{(2k)!(2k-1)!}{k!}}=(\frac{n}{2})!$ Pour n pair puisque $2^n$ est un carré pour n paire.
Comme dans notre situation la somme de deux carré parfait n'est pas égale a un carré parfait, il faut modifier l’énoncé de la question.
Quel facteur devons nous retirer de $\prod _{k=1}^{n}k!$ pour que le résultat soit la somme de deux differents carré parfait?
PS: je n'ai pas réusit a simplifier $\prod _{k=1}^{n}(2k-1)!=\prod _{k=1}^{n}\frac{(2k)!}{2k}=\prod _{k=1}^{n}2k!-(2k-1)!(2k-1)=\prod _{k=0}^{n}((2k+2)(2k+3))^{n-k}=$https://oeis.org/A168467
Oups je viens de m’apercevoir que se n'est pas la somme de deux carrés parfait mais le produit.
Du coups j'ai une nouvelle question.
Le produit de deux carré parfait en résulte ils un carré parfait?
Après quelques test la reponse est oui.
Exemple: $\sqrt{17^227^2}=459$
L’énoncé de blackpenredpen est donc juste.
par contre $n^2$ est un carré parfait pour n paire. -
La lecture de Itard a été mon premier contact avec le théorème des quatre carrés.
Sa preuve paraphrase celle utilisant les quaternions, ma préférée. -
@Rescassol
Histoire de me remettre dans le bain, j'ai implémenté la méthode de Ireland & Rosen dans un ``langage normal'' i.e. typé, sécurisé ...etc.. dans lequel je peux faire des choses que j'estime propres. Ce n'est pas que mon programme maple figurant dans l'épreuve soit sale, mais la question est (pour moi) : peut-on faire propre avec des langages qui ne le sont pas ?
Tout cela pour te dire que j'en ai eu pour 15-20 minutes, pas plus. Avec une totale sécurité. Ci dessous, une idée des temps de calculs. Je fais semblant de contrôler que le 4-uplet $(x_i)_{1 \le i \le 4}$ vérifie $\sum_i x_i^2 = p$ mais la fonction Graal le fait déjà elle-même puisque c'est la preuve de sa terminaison !
> time p := RandomPrime(300) ; Time: 0.270 > p ; 42424124411460814680500975464118017579033644251709264565856727672060123955884817848000811 > time X := Graal(p) ; Time: 0.220 > X ; [ 124608424912625365611989859233183111314248907, 26619087527274744180625582989494594372715908, 91977848986471701261144097144684812109474513, 133147903953808126057237742769536525277750977 ] > X[1]^2 + X[2]^2 + X[3]^2 + X[4]^2 eq p ; true
Bon courage avec tes langages préférés. -
Bonjour Claude,
Ton langage propre normal à toi, je suppose que c'est Magma; inaccessible au commun des mortels ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Rescassol,
Je prends 5 minutes pour te répondre. C'est très compliqué d'échanger sur les langages de programmation car c'est bien connu que tous les programmeurs sont de mauvaise foi (mais il n'y a pas que les programmeurs).
Oui, Lagrange, je l'ai implémenté avant-hier en magma pour me remettre dedans. On pourrait croire que je défends ce langage et que je le mets au dessus des autres. Absolument pas. C'est bien plus compliqué que cela. Disons que depuis un certain temps, dans le petit domaine algébrique dans lequel j'évolue, il me rend les services escomptés de manière un peu près satisfaisante, même si j'en connais un certain nombre de défauts (de conception). Et dans ce que je fais actuellement dans mon travail, je ne voudrais en aucun cas le réaliser en maple, par exemple.
Dans le petit domaine algébrique mentionné, un langage statique relativement bien typé me suffit. Dans d'autres domaines, il n'est absolument pas approprié, cf plus bas.
Voici un grave défaut que j'ai noté il y a bien des années. La syntaxe des ``intrinsic'' fait que l'on est obligé de définir un vague type de retour (ici booléen) ainsi qu'un commentaire d'ailleurs.
intrinsic EstPair(n::RngIntElt) -> BoolElt { "Retourne le predicat n est pair" } return 2*n ; end intrinsic ;
Mais ce type de retour, c'est juste pour la gueule, les yeux comme on dit dans le métier. Juste pour l'affichage comme tu le vois ci-dessous. Aucun contrôle n'est fait par ailleurs. Voilà ce que cela va donner
> EstPair ; Intrinsic 'EstPair' Signatures: (<RngIntElt> n) -> BoolElt "Retourne le predicat n est pair". > EstPair(3) ; 6
Quand j'ai découvert cela, j'ai vachement été étonné que l'on puisse monter un tel édifice sur un truc aussi pourri. Il faut savoir que lorsque l'on ouvre une session magma, tous les domaines sont visibles et toutes leurs fonctions sont accessibles. J'ai compté, pour l'index de ces fonctions (surchargées), 170 pages à raison de 80 fonctions (pointées) par page (sur un pdf global de 6000 pages pour la documentation).
Comment un tel édifice peut-il tourner ? Et comme il fallait s'en douter, les concepteurs ont un peu perdu la main sur le produit (par exemple, la base de données qui sert d'aide en ligne est rarement à jour : certaines fonctions documentées n'existent pas et des fonctions qui existent ne sont pas toujours documentées).
Bref, j'espère que le produit ne va pas s'écrouler. Comme Axiom dans le passé.
Un petit mot à propos de maple. Je l'ai parfois utilisé dans le passé pour ses vertus symboliques, disons pour prototyper. Je l'ai enseigné pendant de nombreuses années mais je dois avouer que je n'ai jamais compris sa sémantique. Je parle du fonctionnement en profondeur (eval et tout le truc). Je n'ai jamais eu le courage qu'a eu un collègue de Grenoble : il a pris le temps d'écrire un pdf de 194 pages `` maple expliqué'' https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~sergerar/Papers/Maple-explique.pdf
Si tu as l'occasion de regarder la page https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~sergerar/Papers/. Le collègue en question a réalisé un énorme projet de topologie algébrique effective (The Kenzo program) à mon avis unique au monde, qui est monté sur Lisp (un langage que je ne connais pas). Voilà bien un domaine pour lequel magma n'est absolument pas adapté (et ce n'est pas le seul domaine). -
Bonsoir Claude,
Rassure toi, je n'ai rien contre Magma, le seule défaut que je lui trouve pour le moment est que je ne peux pas en disposer.
J'utilise plutôt Matlab ou Python, mais surtout parce que j'ai été conduit à les enseigner.
J'ai une version de Maple (la 18 je crois), mais je n'ai jamais pris le temps de m'y plonger.
J'ai aussi enseigné Pascal,C, C++ et C#, mais ce n'est pas adapté à ce que je fais maintenant.
J'ai même fait du Lisp à une époque (sans l'enseigner): Autolisp sur Autocad, puis Lelisp et Aïda.
Cordialement,
Rescassol
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 25
+18 Invités