un lieu conique

C'est pour distinguer des Cocars, Cohoms, Copols, Cosphés etc., sans doute

Bonjour,

Chaurien, cobars est l'abréviation de coordonnées barycentriques par rapport aux sommets du triangle $ABC$.
Cette abréviation est relativement courante.

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir
Les questions de sémantique ne sont pas mon fort et de toutes façons, je n'écris jamais en style télégraphique.
Quant à la solution, elle est aussi rapide à écrire que la figure à faire!
L'équation générale des coniques $\gamma$ circonscrites au triangle de référence $ABC$ est de la forme:
$$uyz+vzx+wxy=0$$
Elles passent par le centre de gravité si et seulement si:
$$u+v+w=0$$
Soit $P(x:y:z)$ un point du plan. Les coordonnées tangentielles de la polaire de $P$ par rapport à $\gamma$ sont données par:
$$\begin{pmatrix}
0&w&v\\
w&0&u\\
v&u&0
\end{pmatrix}
.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
\simeq
\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}
$$
On est ainsi amené à écrire le système linéaire homogène suivant en $(u,v,w,t)$:
$zv+yw-2t=0$
$zu+xw+t=0$
$yu+xv+t=0$
$u+v+w=0$
dont la matrice est:
$\begin{pmatrix}
0&z&y&-2\\
z&0&x&1\\
y&x&0&1\\
1&1&1&0
\end{pmatrix}
$
Il n'y a plus qu'à annuler le déterminant de cette matrice!
Est-ce encore enseigné?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Donc autrefois, on faisait bel et bien de l'algèbre linéaire et bilinéaire et en plus de la géométrie!

Je ne doute pas qu'elle soit superbe, mais les courbes n'ont pas l'air réelles (:D.

Bruno

Malheureusement, je ne la trouve pas en ligne, comment as-tu procédé ?

Tout s'explique : tu avais omis de valider l'insertion de la figure ; essaye d'éditer l'un de tes deux autres messages et compare :-).

Amicalement, Bruno

Bonjour,

Une conique circonscrite passant par $U\simeq u:v:w$ admet pour perspecteur le point $P\simeq u:tv:-\left(1+t\right)w$. Sa matrice est$ \def\coni{\mathcal{C}} \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\ptv{~;~}$ \[ \coni_{t}\simeq\left[\begin{array}{ccc} 0 & -\left(1+t\right)w & tv\\ -\left(1+t\right)w & 0 & u\\ tv & u & 0 \end{array}\right] \]

On considère la droite qui, en cohordhonées bharycenthriques, s'écrit $\Delta\simeq\left[f;g;h\right]$. Alors le pôle de la droite par rapport à la conique s'écrit: \[ Q_{t}\doteq Adjoint\left(\coni_{t}\right)\cdot\tra{\Delta}\simeq\left[\begin{array}{c} -u^{2}f+utvg-u\left(1+t\right)wh\\ utvf-t^{2}v^{2}g-\left(1+t\right)wtvh\\ -u\left(1+t\right)wf-\left(1+t\right)wtvg-\left(1+t\right)^{2}w^{2}h \end{array}\right] \] Le lieu de $Q_{t}$ s'obtient en un coup de locusconi: \[ \mathfrak{C}\simeq\left[\begin{array}{ccc} 2\,f\,vw & -\left(fu+gv\right)w & -\left(fu+hw\right)v\\ -\left(fu+gv\right)w & 2\,g\,wu & -\left(gv+hw\right)u\\ -\left(fu+hw\right)v & -\left(gv+hw\right)u & 2\,h\,uv \end{array}\right] \]

On calcule les intersections de $\mathfrak{C}$ avec les côtés du triangle. On trouve \[ U_{a}\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ v\\ w \end{array}\right)\etc\ptv F'_{a}\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ h\\ g \end{array}\right)\etc \] Autrement dit, $\mathfrak{C}$ est la conique cocévienne de $U$ et de $F\simeq1/f:1/g:1/h$, le tripôle de la droite $\Delta$.

Et voilà ! Le faisceau paradigmatique primordial semble se subsumer dans le cas général.

Cordialement, Pierre

Rem: le perspecteur est "au bout des droites bleues". Et comme Geogebra n'accepte pas de paramétrer par un point de la droite de l'infini, on paramètre à l'aide du point gudulique.