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Lieu attaché à une homographie

Envoyé par Yannguyen 
Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour,

Deux droites $(D)$ et $(D')$ du plan affine se coupent en un point $\Omega$.

Une homographie $h$, qui n'est pas une perspective (cad ne laisse pas $\Omega$ fixe), applique $M\in (D)$ sur $h(M)\in (D')$.

Quel est le lieu du milieu du segment $[Mh(M)]$ ?

Quelle est l'enveloppe de la droite $(Mh(M))$ ?

Faire une figure.


Cordialement, Yann
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Mon cher Yann
Voici toujours une figure!
Avec le cours de Bruno, ce devrait être facile!
Amicalement
pappus


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonsoir
Sur ma figure, $M'=h(M)$ et $m$ est le milieu du segment $MM'$.
Si on complète le parallélogramme $\Omega M \mu M'$, le lieu de $\mu$ s'appelle le graphe de la correspondance homographique $M \mapsto h(M)$.
Autrefois dans un autre siècle, on apprenait que ce graphe était une hyperbole dont les asymptotes étaient parallèles à $D$ et $D'$. Est-ce encore enseigné? Je n'en suis pas tout à fait sûr!
J'ai tracé cette hyperbole $\color{blue}H$ en bleu sur ma figure avec ses asymptotes $\color{blue}d$ et $\color{blue}{d'}$.
Le lieu $\color{red}H$ de $m$ est donc l'hyperbole homothétique de l'hyperbole lieu de $\mu$ dans l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac 12$.
Comme les homothéties se sont fait la malle, elles aussi, depuis belle lurette, j'espère que mon argument sera néanmoins compris.
J'ai tracé en rouge l'hyperbole $\color{red}H$ lieu de $m$ ainsi que ses asymptotes $\color{red}d$ et $\color{red}{d'}$ respectivement parallèles aux droites $D$ et $D'$.
Amicalement
pappus



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour
Je ne résiste pas à l'envie de parler pour ne pas dire grand-chose, sinon paraphraser Pappus.
J'ai changé les notations initiales pour adopter celles de Pappus dans le message qui suit.
$\Omega =D\cap D^{\prime },P=h^{-1}\left( \Omega \right) ,Q^{\prime }=h\left( \Omega \right) ,I=h^{-1}\left( \infty _{D^{\prime }}\right) ,J^{\prime }=h\left( \infty _{D}\right) $, où $\infty _{D}$ et $\infty _{D^{\prime }}$ sont les points à l'infini de $D$ et $D^{\prime }$.
$\omega $ est le milieu de $\left[ IJ^{\prime }\right] $. Les droites $IJ^{\prime }$ et $PQ^{\prime }$, qui est l'axe de $h$, sont parallèles.
L'enveloppe de $MM^{\prime }$ est la conique (bleue) de centre $\omega $ tangente en $P$ et $Q^{\prime }$ à $D$ et $D^{\prime }$. C'est une ellipse si $P\in \left[ \Omega I\right] $, une hyperbole sinon.
Le lieu du milieu $m$ de $\left[ MM^{\prime }\right] $ est l'hyperbole (rouge) de centre $\omega $ passant par $\infty _{D}$, $\infty _{D^{\prime }}$ et les milieux de $\left[ \Omega P\right] $ et $\left[ \Omega Q^{\prime }\right] $.
Ces $2$ coniques sont bitangentes, la corde de contact étant la droite $\Omega \omega $, ce qui se voit moins bien sur ma figure que sur celle de Pappus.
Amicalement. Poulbot



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par poulbot.


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour
Cette figure a vocation à représenter une homographie $h:D\mapsto D'$ par le choix de points bien choisis sur $D$ et $D'$.
1° $P=h^{-1}(\Omega)\in D$.
2° $Q'=h(\Omega) \in D'$.
3° $I =h^{-1}(\infty_{D'})\in D$ est le point-limite objet où $\infty_{D'}$ désigne le point à l'infini de la droite $D'$.
4° $J'=h(\infty_D)\in D'$, le point-limite image où $\infty_D$ est le point à l'infini de la droite $D$.
On a donc sous les yeux $4$ paires de points homologues:
$(\infty_D,J')$, $(I,\infty_{D'})$, $(P,\Omega)$, $(\Omega,Q')$.
Les questions qui se posent sont les suivantes:
1° Peut-on se donner arbitrairement les points $I$ et $P$ sur la droite $D$ et les points $Q'$ et $J'$ sur la droite $D'$?
2° Une fois la première question résolue, comment construire l'image $M'=h(M)\in D'$ d'un point $M\in D$.
3° Une fois tracée la droite $MM'$, on peut légitiment se poser la question de son enveloppe!
Amicalement
pappus



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour Pappus
Je pense qu'en farfouillant dans mon message précédent, on doit pouvoir trouver les réponses à tes $3$ questions.
Amicalement. Poulbot
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Merci Poulbot
Effectivement, on sait qu'une homographie est déterminée par les images de trois points distincts.
On ne peut donc se donner arbitrairement quatre paires de points homologues.
Il y a une relation de liaison donnée par le birapport, c'est ainsi que le birapport a été inventé!
$$(P,\Omega, I,\infty_D)=(\Omega,Q',\infty_{D'},J')$$
Ce qui s'écrit:
$$\dfrac{\overline{IP}}{\overline{I\Omega}}=\dfrac{\overline{J'Q'}}{\overline{J'\Omega}}$$
D'après l'axiome de Thalès, ceci implique que $IJ'\parallel PQ'$ comme l'a bien dit Poulbot dans son précédent message!
Maintenant se pose la question de la construction de $M'=h(M)$ ou celle de $M=h^{-1}(M')$.
Amicalement
pappus


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour
Je propose la construction suivante.
Explication de gravures?
Amicalement
pappus


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour cher maître pappus, bonjour cher poulbot


J'ai du mal à réaliser la figure, notamment le dessin de l'enveloppe de MM', et du point de contact correspondnt.

J'en ai quatre points. Et si je prends pour cinquième point l'un des points d'intersection du lieu du milieu de MM' avec la droite $\Omega\omega$, j'ai une figure instable !

Que faire ?

Yann
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour,
voici ma figure.

L'homographie est définie, comme dans le livre de Bruno, par les trois points suivants :
$P$ s'envoie sur $\Omega$
$\Omega$ s'envoie sur $Q'$
et $A$ s'envoie sur $A'$
La construction de l'image $M'$ de $M$ est alors facile.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - tototototo.ggb (11.7 KB)
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Merci Yann
Oui, le livre de Bruno est indispensable!
Je vais justifier maintenant mes propres constructions qui ne doivent guère différer des tiennes.
Par exemple, ma figure suggère de mener par $M$ la parallèle à $D'$ coupant la droite $PQ'$ en $m$ puis de tracer la droite $Im$ coupant $D'$ en $M'$..
Concrètement, on fait d'abord l'application $D\longmapsto PQ'; M\mapsto m$ qui est une projectivité de pôle $\infty_{D'}$, elle est donc affine.
Puis on fait la projectivité de pôle $I$, $PQ'\longmapsto D'; m\mapsto M'$.
Cette construction donne bien une homographie comme produit de deux projectivités et on vérifie qu'elle coïncide avec $h$ sur les points $\infty_D$, $I$, $P$, $\Omega$. Cette homographie est donc $h$.
Même méthode avec la deuxième construction $M\mapsto m'\mapsto M'$.
La première application $M\mapsto m'$ est une projectivité de pôle $J'$, la seconde $m'\mapsto M'$ est une projectivité de pôle $\infty_D$, elle est donc affine. Au total encore une homographie coïncidant avec $h$ sur les points s $\infty_D$, $I$, $P$, $\Omega$ et donc égale à $h$.
Enfin tout ceci revient au fait que la droite $PQ'$ est l'axe d'homographie de $h$.
Pour tous points $M$, $N$ sur la droite $D$, les droites $Mh(N)$ et $Nh(M)$ se coupent sur l'axe d'homographie $PQ'$.
La première construction dit simplement que les droites $Mh(I)$ et $Ih(M)$ se coupent en $m$ sur la droite $PQ'$.
Quant à la seconde, elle dit que les droites $Mh(\infty_D)$ et $\infty_Dh(M)$ se coupent en $m'$ sur l'axe $PQ'$.
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Le lieu (H) du milieu $[M,N]$ est l'homothétique rapport 1/2 du graphe et donc centre $D=(I+J')/2$.

L'enveloppe de $MN$ est une conique de même centre et bitangente à (H) selon la corde $\Omega D$... comme déja dit par Poulbot. Les foyers de ces deux coniques forment un parallélogramme.

Cordialement, Pierre.
df
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour,

Peut-on avoir les références du livre de Bruno que vous mentionnez ?
...

[Celui-ci sans doute [www.amazon.fr] AD]



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Mon cher Yann
Je visualise mal la paire $(A,A')$.
Fait-elle partie de tes données pour définir l'homographie $h$?
Je pense qu'il vaut mieux comme je l'ai montré se donner $h$ par les quatre points $I$, $J'$, $P$, $Q'$ tels que $PQ'\parallel IJ'$.
On construit ensuite les paires $(M,M')$ de points homologues de $h$ comme je l'ai dit.
Ma nouvelle figure place le graphe de $h$ que nous avons rencontré dans la première question
C'est l'hyperbole dont les asymptotes dont $d$, la parallèle à $D$ passant par $J'$ et $d'$ la parallèle à $D'$ passant par $I$.
De plus $P=\color{blue}H\cap D$ et $Q'=\color{blue}H\cap D'$
D'après le cours de Bruno, l'enveloppe de la droite $MM'$ est une conique tangente à $D$ en $P$ et à $D'$ en $Q'$.
Mais les droites $d=\infty_Df(\infty_D)$ et $d'=If(I)$ sont des droites $MM'$ particulières.
L'enveloppe cherchée est donc inscrite dans le parallélogramme $\Omega I\color{blue}\omega J'$ et on connait en plus les points de contact $P$ et $Q'$.
Il n'est plus très difficile de tracer cette enveloppe. Je me suis arrangé avec les données pour que ce soit une ellipse.
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
@ df
J'ai corrigé mon typo.
Merci
pappus
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
@Yann
Mon enveloppe est localement stable vis à vis de mes données $I$, $J'$, $P$, $Q'$.
Dans le cas où le plan est euclidien, comment construire les foyers de l'enveloppe?
Amicalement
pappus
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Les foyers sont isogonaux wrt le triangle $M,M',\Omega$ et leur milieu $D$ est connu. On peut aussi les calculer par Plücker !
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour
Bien vu Pierre.
Poulbot en a donné une construction étonnante.
Une autre façon de faire.
L'homographie $h:D\mapsto D'$ se prolonge au plan tout entier en une transformation circulaire directe dont les deux points fixes sont les foyers (visibles) de la conique.
Il reste maintenant à justifier ma première figure de ce fil c'est à dire la bitangence.
Dans le cas de l'ellipse, les contacts sont toujours réels.
Dans le cas de l'hyperbole, la figure de Poulbot laisse à penser qu'il y a des problèmes.
Cette question ne pourra vraiment se résoudre que par le calcul analytique et tant pis pour la géométrie synthétique!
Amicalement
pappus
PS
La première fois que j'ai lu cette histoire de prolongement, c'est dans le cours de géométrie d'Iliovici et Robert, bien supérieur à celui de Lebossé-Hémery. J'ai la chance de le posséder!



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.
df
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Merci AD !
[À ton service. smiling smiley AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonsoir
La figure ci-dessous montre comment construire le point de contact $T$ de la droite $MM'$ avec son enveloppe.
La droite $MM'$ coupe l'axe $PQ'$ de l'homographie $h$ en un point $U$ et on a une division harmonique:
$(M,M',T,U)=-1$. Pourquoi?
Amicalement
pappus


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour
Pappus wrote : "Il reste maintenant à justifier ma première figure de ce fil c'est à dire la bitangence. Cette question ne pourra vraiment se résoudre que par le calcul analytique et tant pis pour la géométrie synthétique!"
Dans le repère $\left( \omega ,\overrightarrow{\omega I},\overrightarrow{\omega \Omega }\right) $ (où $\omega $ est le milieu de $\left[ IJ^{\prime }\right] $), les droites $D$ et $D^{\prime }$ ont pour équation $x+y=1$ et $x-y=1$.
Si $P=\left( \alpha ,1-\alpha \right) ,Q^{\prime }=\left( \alpha ,\alpha -1\right) ,M=\left( t,1-t\right) $, on a $M^{\prime }=\left( \dfrac{\alpha }{t},\dfrac{\alpha }{t}-1\right) $.
L'équation de la conique enveloppe de $MM^{\prime }$ est $\dfrac{x^{2}}{\alpha }+\dfrac{y^{2}}{1-\alpha }=1$ et celle de l'hyperbole lieu du milieu de $\left[ MM^{\prime }\right] $ est $\dfrac{x^{2}}{\alpha }-\dfrac{y^{2}}{\alpha }=1$.
Amicalement. Poulbot
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Merci Poulbot
Comme d'habitude, le meilleur tout simplement
Voici ta figure où j'ai effacé pour des raisons de clarté l'hyperbole bleue $\color{blue}H$, graphe de $h$ et j'ai gardé l'hyperbole rouge $\color{red}H$, lieu du milieu $\color{red}{\mu}$ de $MM'$.
Tout était dans le choix du repère que j'ai tracé en bleu.
Il fallait remarquer que les deux coniques avaient en commun un système de diamètres conjugués $\color{red}{\omega}I$ et $\color{red}{\omega}\Omega$, qu'est-ce encore que cette bestiole là?.S'en fou, dirait Yannguyên en bon vietnamien!
Il reste quand même à faire les calculs qui ne sont pas anodins!!
Pour ceux dont le seul plaisir est de montrer que trois points sont alignés ou trois droites concourantes, j'ai rajouté sur la figure divers alignements et incidences sur la construction du point de contact $T$ de $MM'$ avec son enveloppe qui les occuperont un certain temps!
Amicalement
pappus



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Chers Amis, bonjour


1) Oui ! les points $A$ et $A'$ de ma figure sont dans la définition de l'homographie, comme dans le livre de Bruno,

2) pour la construction du point de contact, c'est facile !
Il suffit de dire que la polaire du point d'intersection de la droite $MM'$ avec $PQ'$ est la même relativement à l'enveloppe, et aux deux droites $(D)$, $(D')$.

3) (Important) Plus basique comment démontrer qu'étant donnée une conique bitangente en $P$ et$Q'$ à deux droites $(D)$ et $(D')$, la correspondance qui à un point $M$ de la première droite associe le point (autre que l'intersection des deux droites) $M'$ où la tangente issue de $M$ à la conique recoupe la droite $(D')$ est homographique !

4) J'ai beaucoup appris avec cet exercice, qui n'est pas encore clôturé ! Merci, merci !

Cordialement, Yann


\\



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Yannguyen.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour,

Peuplons encore un peu plus la figure. En orange, le graphe. En orange pointillé le lieu des milieux. Les foyers $F$ de cette conique sont sur la réunion de deux coniques homofocales (en vert) Il y a donc trois cas (un par branche, lesquels ?). En rouge la conique enveloppe, élément du faisceau tangentiel (B,AB,C,AC). Les foyers $G$ de cette conique sont sur la cubique mauve. Comme celle-ci admet $A$ comme point double, on paramètrise par $\tau$ le point mobile du cercle $ABC$, qui fournit la direction de la droite $AG_j$. On reporte $G(\tau)$ dans l'équation de Plucker, et on obtient $k=\overrightarrow{AI}\div \overrightarrow {AP}$. Et alors, il y a quatre valeurs de $\tau$ par valeur de $k$. Ce qui est assez rassurant. Sans compter que $\tau_1 \tau_2 = ...$. On peut même vérifier que $G_1G_2 \perp G_3 G_4$ !

Que peut-on dire de $Q_g$, le point commun à la cubique mauve et aux deux coniques vertes ?

Cordialement, Pierre.

PS: reprise des notations d'un précédent fil: $\Omega=A, P=B, Q'=C, I=I, J=J$


gb
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Citation
pappus
Il reste maintenant à justifier ma première figure de ce fil c'est à dire la bitangence.
Cette question ne pourra vraiment se résoudre que par le calcul analytique et tant pis pour la géométrie synthétique!

Que peut-on dire de la configuration obtenue lorsque les droites (MM') et (PQ') sont parallèles ?
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Que dire, à part que lorsque des diamètres sont conjugués, alors ils sont conjugués ?


Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Mon cher gb
S'il existe une droite $MM'$ parallèle à $PQ'$, ce ne peut être qu'une tangente commune aux deux coniques, en $S$ et $S'$ sur ma figure.
J'avais bien pensé à faire ce raisonnement qui ne marche que si l'enveloppe est une ellipse.
Mais si l'enveloppe est une hyperbole, on n'est plus sûr de rien et en particulier de l'existence d'une droite $MM'$ parallèle à $PQ'$.
Seul le calcul de Poulbot permet de trancher dans tous les cas de figure.
Amicalement
pappus
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Comment démontrer que la tangente mobile à une conique recoupe deux tangentes fixes en définissant une correspondance homographique entre les paramétrisations des deux tangentes fixes ? Il suffit de l'écrire.

On se donne $\Omega=\alpha:1:1/\alpha$, $P=\beta:1:1/\beta$, $Q\simeq\gamma:1:1/\gamma$. Alors

(Det@Matrix)([ztOm,ztP,vz])*(Det@Matrix)([ztOm,ztQ,vz]): con1:=eq2mm(%,vz);
(Det@Matrix)([ztQ, ztP,vz])^2; con2:=eq2mm(%,vz);
ladr:=wedge((1-x)*ztOm+x*ztP, (1-y)*ztOm+y*ztQ)):
factor(ladr.Adjoint(con1+K*con2).Tr(ladr)): lien:=select(has,%,K);

donne (moyennant quelques manipulations de nature cosmétique) \[ con_{1}\simeq\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2\,\alpha-\beta-\gamma & \left(\beta+\gamma\right)\alpha\\ -2\,\alpha-\beta-\gamma & 2\,\left(\alpha+\beta\right)\left(\alpha+\gamma\right) & -\alpha\,\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma+2\,\beta\,\gamma\right)\\ \left(\beta+\gamma\right)\alpha & -\alpha\,\left(\alpha\,\beta+\alpha\,\gamma+2\,\beta\,\gamma\right) & 2\,\beta\,\gamma\,\alpha^{2} \end{array}\right] \] \[ con_{2}\simeq\left[\begin{array}{ccc} 1 & -\beta-\gamma & \beta\,\gamma\\ -\beta-\gamma & \left(\beta+\gamma\right)^{2} & -\beta\,\gamma\,\left(\beta+\gamma\right)\\ \beta\,\gamma & -\beta\,\gamma\,\left(\beta+\gamma\right) & \beta^{2}\gamma^{2} \end{array}\right] \] \[ lien:=\left(2\,\beta\,\gamma\,\left(\alpha-\beta\right)\left(\alpha-\gamma\right)K-\alpha^{2}\left(\beta-\gamma\right)^{2}\right)xy-2\,K\,\beta\,\gamma\,\left(\alpha-\gamma\right)\left(\alpha-\beta\right)\left(x+y-1\right) \]

Et c'est fini. Cordialement, Pierre.
gb
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
avatar
Citation
pappus
Mais si l'enveloppe est une hyperbole, on n'est plus sûr de rien et en particulier de l'existence d'une droite $MM'$ parallèle à $PQ'$.

Alors le point à l'infini de la droite (PQ') serait bien le seul duquel on ne puisse mener deux tangentes à la conique.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Mon cher gb
Pour une hyperbole, il n'existe pas forcément de tangentes parallèles à une direction donnée.
Même remarque pour la parabole avec sa direction asymptotique.
Amicalement
pappus
gb
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
avatar
Mon cher pappus,

S'il y a contact entre les deux coniques, les tangentes de contact seront parallèles à (PQ').
On peut mener deux telles tangentes : les coniques sont bitangente.
On ne peut pas mener deux telles tangentes : les coniques ne sont pas bitangentes.

Si l'on prétend affirmer « les coniques sont bitangentes » sans autre précision, on admet de ce fait des contacts en des points non réels, donc des tangentes communes non réelles, mais parallèles à (PQ'), qui existeront toujours.

Si l'on entend par « les coniques sont bitangentes », que les points de contact sont réels, alors la question est : quand les coniques sont-elles bitangentes.

Le calcul de Poulbot n'exhibe pas les points de contact, et ne discute pas de leur caractère réel.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Le calcul de Poulbot consiste à utiliser que deux coniques bitangentes déterminent un faisceau contenant une droite double, que l'on peut obtenir par coefficients indéterminés. On en déduit qu'un certain polynôme est identiquement nul sur un intervalle parcouru par le paramètre. Que peut-il donc arriver ailleurs, sauf peut-être en des points isolés ? Cela n'a rien à voir avec "être visible" car "$X_1,X_3$ prennent des valeurs conjuguées" n'est précisément pas une équation polynomiale.
gb
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
avatar
Ma méthode consiste à exhiber deux points doubles de la droite double… je ne vois en quoi elle ne convient pas à pappus.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Merci gb
Il est probable que j'aurais mieux fait de me taire!
Amicalement
pappus
gb
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
avatar
J'aurais aussi pu dire directement que le faisceau défini par les deux coniques contient la conique dégénérée en la polaire du point à l'infini de la droite (PQ') comptée deux fois.

edit : j'ai toujours aimé les droites « réelles » définies par deux points « imaginaires » …



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par gb.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Merci Pierre pour l'approche analytique, mais je suis sûr qu'il y a une preuve synthétique. Je dois avouer cependant qu'elle m'échappe pour le moment.

Plus précisément, si une conique est bitangente en $P$ et $Q'$ aux droites $(D)=\Omega P$ et $(D')=\Omega Q'$, et si $A\in (D)$, $M\in (D)$ et $A'\in (D')$, $M'\in (D')$ sont tels que les droites $(AA'$ et $(MM')$ sont tangentes à la conique, alors les birapports $[M,A,P,\Omega]$ et $[M',A',\Omega,Q']$ sont égaux !?

Cordialement, Yann.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour
gb wrote "Le calcul de Poulbot n'exhibe pas les points de contact, et ne discute pas de leur caractère réel"
Pour les coniques d'équations $\dfrac{x^{2}}{\alpha }+\dfrac{y^{2}}{1-\alpha }=1$ et $\dfrac{x^{2}}{\alpha }-\dfrac{y^{2}}{\alpha }=1$, cela me [paraît] évident ainsi que l'interprétation géométrique, vu le repère choisi.
Amicalement. Poulbot



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Bonjour
Par dualité, c'est simplement la théorie du birapport de quatre tangentes à une conique qui est égal au birapport de leurs points de contact.
Les birapports ont disparu, les coniques ont disparu.
Il nous reste la dualité, encore heureux.
Amicalement
pappus
Re: Lieu attaché à une homographie
il y a deux années
Un autre point de vue. On a deux tangentes fixes $D\doteq \Omega P$ et $D'\doteq \Omega Q$ et une tangente mobile $T$. Celle-ci induit une correspondance homographique entre les paramètres des points $A= D\cap T$ et $A'=D' \cap T$. Et donc le résultat du transport du birapport sous l'action de $M\mapsto M'$ n'est autre que la conservation. Il suffit juste de remarquer que $P'=\Omega$ et que $\Omega' =Q$.

Quant au fait que le birapport conique des points soit égal au birapport conique des tangentes, cela vient du fait que ces birapports sont, chacun de leur côté, purement et simplement égaux au birapport rantanplan des paramètres, calculé dans $\overline{ \mathbb C}$ selon la formule ancestrale et éponyme: faire le rapport des rapports. On peut voir cela sous la forme "il n'y a pas d'autre birapport que le birapport rantanplan". Pas de quoi en faire une taupinière !

Ne pas oublier néanmoins de s'extasier sur le fait que les changements admissibles pour le paramètre appartiennent au groupe du birapport. D'où la question: quelles sont donc les bijections bicontinues de $\overline{ \mathbb C}$ ?

Cordialement, Pierre.
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