Lieu attaché à une homographie

Bonsoir
Sur ma figure, $M'=h(M)$ et $m$ est le milieu du segment $MM'$.
Si on complète le parallélogramme $\Omega M \mu M'$, le lieu de $\mu$ s'appelle le graphe de la correspondance homographique $M \mapsto h(M)$.
Autrefois dans un autre siècle, on apprenait que ce graphe était une hyperbole dont les asymptotes étaient parallèles à $D$ et $D'$. Est-ce encore enseigné? Je n'en suis pas tout à fait sûr!
J'ai tracé cette hyperbole $\color{blue}H$ en bleu sur ma figure avec ses asymptotes $\color{blue}d$ et $\color{blue}{d'}$.
Le lieu $\color{red}H$ de $m$ est donc l'hyperbole homothétique de l'hyperbole lieu de $\mu$ dans l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac 12$.
Comme les homothéties se sont fait la malle, elles aussi, depuis belle lurette, j'espère que mon argument sera néanmoins compris.
J'ai tracé en rouge l'hyperbole $\color{red}H$ lieu de $m$ ainsi que ses asymptotes $\color{red}d$ et $\color{red}{d'}$ respectivement parallèles aux droites $D$ et $D'$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
Cette figure a vocation à représenter une homographie $h:D\mapsto D'$ par le choix de points bien choisis sur $D$ et $D'$.
1° $P=h^{-1}(\Omega)\in D$.
2° $Q'=h(\Omega) \in D'$.
3° $I =h^{-1}(\infty_{D'})\in D$ est le point-limite objet où $\infty_{D'}$ désigne le point à l'infini de la droite $D'$.
4° $J'=h(\infty_D)\in D'$, le point-limite image où $\infty_D$ est le point à l'infini de la droite $D$.
On a donc sous les yeux $4$ paires de points homologues:
$(\infty_D,J')$, $(I,\infty_{D'})$, $(P,\Omega)$, $(\Omega,Q')$.
Les questions qui se posent sont les suivantes:
1° Peut-on se donner arbitrairement les points $I$ et $P$ sur la droite $D$ et les points $Q'$ et $J'$ sur la droite $D'$?
2° Une fois la première question résolue, comment construire l'image $M'=h(M)\in D'$ d'un point $M\in D$.
3° Une fois tracée la droite $MM'$, on peut légitiment se poser la question de son enveloppe!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Poulbot
Effectivement, on sait qu'une homographie est déterminée par les images de trois points distincts.
On ne peut donc se donner arbitrairement quatre paires de points homologues.
Il y a une relation de liaison donnée par le birapport, c'est ainsi que le birapport a été inventé!
$$(P,\Omega, I,\infty_D)=(\Omega,Q',\infty_{D'},J')$$
Ce qui s'écrit:
$$\dfrac{\overline{IP}}{\overline{I\Omega}}=\dfrac{\overline{J'Q'}}{\overline{J'\Omega}}$$
D'après l'axiome de Thalès, ceci implique que $IJ'\parallel PQ'$ comme l'a bien dit Poulbot dans son précédent message!
Maintenant se pose la question de la construction de $M'=h(M)$ ou celle de $M=h^{-1}(M')$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Yann
Oui, le livre de Bruno est indispensable!
Je vais justifier maintenant mes propres constructions qui ne doivent guère différer des tiennes.
Par exemple, ma figure suggère de mener par $M$ la parallèle à $D'$ coupant la droite $PQ'$ en $m$ puis de tracer la droite $Im$ coupant $D'$ en $M'$..
Concrètement, on fait d'abord l'application $D\longmapsto PQ'; M\mapsto m$ qui est une projectivité de pôle $\infty_{D'}$, elle est donc affine.
Puis on fait la projectivité de pôle $I$, $PQ'\longmapsto D'; m\mapsto M'$.
Cette construction donne bien une homographie comme produit de deux projectivités et on vérifie qu'elle coïncide avec $h$ sur les points $\infty_D$, $I$, $P$, $\Omega$. Cette homographie est donc $h$.
Même méthode avec la deuxième construction $M\mapsto m'\mapsto M'$.
La première application $M\mapsto m'$ est une projectivité de pôle $J'$, la seconde $m'\mapsto M'$ est une projectivité de pôle $\infty_D$, elle est donc affine. Au total encore une homographie coïncidant avec $h$ sur les points s $\infty_D$, $I$, $P$, $\Omega$ et donc égale à $h$.
Enfin tout ceci revient au fait que la droite $PQ'$ est l'axe d'homographie de $h$.
Pour tous points $M$, $N$ sur la droite $D$, les droites $Mh(N)$ et $Nh(M)$ se coupent sur l'axe d'homographie $PQ'$.
La première construction dit simplement que les droites $Mh(I)$ et $Ih(M)$ se coupent en $m$ sur la droite $PQ'$.
Quant à la seconde, elle dit que les droites $Mh(\infty_D)$ et $\infty_Dh(M)$ se coupent en $m'$ sur l'axe $PQ'$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

Peut-on avoir les références du livre de Bruno que vous mentionnez ?
...

[Celui-ci sans doute https://www.amazon.fr/Coniques-projectives-affines-métriques-exercices/dp/2916352120 AD]

@ df
J'ai corrigé mon typo.
Merci
[small]p[/small]appus

Les foyers sont isogonaux wrt le triangle $M,M',\Omega$ et leur milieu $D$ est connu. On peut aussi les calculer par Plücker !

Merci AD !
[À ton service. :-) AD]

Bonjour
Pappus wrote : "Il reste maintenant à justifier ma première figure de ce fil c'est à dire la bitangence. Cette question ne pourra vraiment se résoudre que par le calcul analytique et tant pis pour la géométrie synthétique!"
Dans le repère $\left( \omega ,\overrightarrow{\omega I},\overrightarrow{\omega \Omega }\right) $ (où $\omega $ est le milieu de $\left[ IJ^{\prime }\right] $), les droites $D$ et $D^{\prime }$ ont pour équation $x+y=1$ et $x-y=1$.
Si $P=\left( \alpha ,1-\alpha \right) ,Q^{\prime }=\left( \alpha ,\alpha -1\right) ,M=\left( t,1-t\right) $, on a $M^{\prime }=\left( \dfrac{\alpha }{t},\dfrac{\alpha }{t}-1\right) $.
L'équation de la conique enveloppe de $MM^{\prime }$ est $\dfrac{x^{2}}{\alpha }+\dfrac{y^{2}}{1-\alpha }=1$ et celle de l'hyperbole lieu du milieu de $\left[ MM^{\prime }\right] $ est $\dfrac{x^{2}}{\alpha }-\dfrac{y^{2}}{\alpha }=1$.
Amicalement. Poulbot

Bonjour,

pappus a écrit:

Il reste maintenant à justifier ma première figure de ce fil c'est à dire la bitangence.
Cette question ne pourra vraiment se résoudre que par le calcul analytique et tant pis pour la géométrie synthétique!

Que peut-on dire de la configuration obtenue lorsque les droites (MM') et (PQ') sont parallèles ?

Mon cher gb
S'il existe une droite $MM'$ parallèle à $PQ'$, ce ne peut être qu'une tangente commune aux deux coniques, en $S$ et $S'$ sur ma figure.
J'avais bien pensé à faire ce raisonnement qui ne marche que si l'enveloppe est une ellipse.
Mais si l'enveloppe est une hyperbole, on n'est plus sûr de rien et en particulier de l'existence d'une droite $MM'$ parallèle à $PQ'$.
Seul le calcul de Poulbot permet de trancher dans tous les cas de figure.
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus a écrit:

Mais si l'enveloppe est une hyperbole, on n'est plus sûr de rien et en particulier de l'existence d'une droite $MM'$ parallèle à $PQ'$.

Alors le point à l'infini de la droite (PQ') serait bien le seul duquel on ne puisse mener deux tangentes à la conique.

Mon cher pappus,

S'il y a contact entre les deux coniques, les tangentes de contact seront parallèles à (PQ').
On peut mener deux telles tangentes : les coniques sont bitangente.
On ne peut pas mener deux telles tangentes : les coniques ne sont pas bitangentes.

Si l'on prétend affirmer « les coniques sont bitangentes » sans autre précision, on admet de ce fait des contacts en des points non réels, donc des tangentes communes non réelles, mais parallèles à (PQ'), qui existeront toujours.

Si l'on entend par « les coniques sont bitangentes », que les points de contact sont réels, alors la question est : quand les coniques sont-elles bitangentes.

Le calcul de Poulbot n'exhibe pas les points de contact, et ne discute pas de leur caractère réel.

Ma méthode consiste à exhiber deux points doubles de la droite double… je ne vois en quoi elle ne convient pas à pappus.

J'aurais aussi pu dire directement que le faisceau défini par les deux coniques contient la conique dégénérée en la polaire du point à l'infini de la droite (PQ') comptée deux fois.

edit : j'ai toujours aimé les droites « réelles » définies par deux points « imaginaires » …

Bonjour
gb wrote "Le calcul de Poulbot n'exhibe pas les points de contact, et ne discute pas de leur caractère réel"
Pour les coniques d'équations $\dfrac{x^{2}}{\alpha }+\dfrac{y^{2}}{1-\alpha }=1$ et $\dfrac{x^{2}}{\alpha }-\dfrac{y^{2}}{\alpha }=1$, cela me [paraît] évident ainsi que l'interprétation géométrique, vu le repère choisi.
Amicalement. Poulbot

Un autre point de vue. On a deux tangentes fixes $D\doteq \Omega P$ et $D'\doteq \Omega Q$ et une tangente mobile $T$. Celle-ci induit une correspondance homographique entre les paramètres des points $A= D\cap T$ et $A'=D' \cap T$. Et donc le résultat du transport du birapport sous l'action de $M\mapsto M'$ n'est autre que la conservation. Il suffit juste de remarquer que $P'=\Omega$ et que $\Omega' =Q$.

Quant au fait que le birapport conique des points soit égal au birapport conique des tangentes, cela vient du fait que ces birapports sont, chacun de leur côté, purement et simplement égaux au birapport rantanplan des paramètres, calculé dans $\overline{ \mathbb C}$ selon la formule ancestrale et éponyme: faire le rapport des rapports. On peut voir cela sous la forme "il n'y a pas d'autre birapport que le birapport rantanplan". Pas de quoi en faire une taupinière !

Ne pas oublier néanmoins de s'extasier sur le fait que les changements admissibles pour le paramètre appartiennent au groupe du birapport. D'où la question: quelles sont donc les bijections bicontinues de $\overline{ \mathbb C}$ ?

Cordialement, Pierre.