une coupe en coupe

df
df
dans Géométrie
Bonsoir,
chaque mercredi le supplément "Science et Médecine" du journal "Le Monde" publie des énigmes mathématiques: "Une affaire de logique".
Il y a de la logique donc, du calcul et parfois: de la géométrie.
Par simple curiosité, je souhaitais soumettre à votre sagacité le problème de ce jour, Mercredi 14 Février, dont la solution sera publiée mercredi prochain.
Bonne soirée.




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Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Attention,

    les géomètres du forum vont te traiter ça en 2 coups de Morley !

    Cordialement.
  • df
    df
    Je m'en doute. Je me disais que d'ici ce soir on aurait peut-être 10 solutions différentes.
    En plus, la formulation naïve du problème ne plaide pas en sa faveur.
    ...
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    On doit pouvoir trouver cette configuration dans le Lebossé-Hemery $1946$ de la classe de Troisième.
    Malheureusement à cette époque, les tickets $J3$ ne donnaient pas accès aux glaces au chocolat!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • df
    df
    Classe de Troisième d'accord: mais de 1946 ! C'est-à-dire un équivalent Bac+3 en 2018.
    Bon... Je pensais que les énigmes du "Monde" étaient plus ambitieuses. Tant pis.
    ...
  • pldx1
    pldx1
    Faisons bouger $A$ sur le cercle. Alors P est et demeure le milieu de l'un des arcs $BC$ de ce cercle. Comme chacun sait, lorsque le cul de la coupe est au dessus de la glace, celle-ci tombe. Cela empêche de vérifier expérimentalement que le milieu de l'autre arc est très bien aussi.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ df
    N'exagérons rien, c'est autre chose, c'est de la géométrie élémentaire avec démonstrations.
    J'ai l'édition de 1953 mais je ne vois pas cette configuration.
    Si je ne me trompe, le point $P$ est le milieu de $IJ$, où $J$ est le centre du cercle exinscrit dans l'angle $A$. Il en résulte que les points $A,P,I,J$ sont alignés sur la bissectrice intérieure de l'angle $A$. J'espère que c'est bon.
    Bonne journée.
    Fr. Ch..
  • Chaurien
    Chaurien
    Le point $P$ est l'intersection de la médiatrice du segment $BC$ et de la bissectrice intérieure $AIJ$. Or cette intersection est le milieu de l'arc $BC$ du cercle $ABC$.
  • soland
    soland
    Je ramène ma science :72858
  • df
    df
    Pistes pour la question 1:

    •Démonter que le quadrilatère $ABPC$ est inscriptible: le produit des diagonales du quadrilatère ($PA$ et $CB$) est égale à la somme des produits des côtés opposés.

    •Démontrer que le quadrilatère $ABPC$ formé de deux triangles apposés est inscriptible si il vérifie: angle(CPB) = angle(CAB)=180°.
    Cela implique que la somme des 4 angles du quadrilatère se complètent à 180°.

    •Utiliser le théorème des points cocycliques:$\widehat{CPB}= \pi-\widehat{CAB}$.
    ...
  • df
    df
    Dans le triangle $ABC$, la bissectrice issue de $A$ passe par un point $P$ à égale distance de $B$, $C$ et $I$.
    Alors $\widehat{BAP}=\widehat{PAC}$ et les arcs $\widehat{CP}$ et $\widehat{PB}$ sont égaux.
    Donc $P$ est sur la médiatrice de $[BC]$. L'intersection de la bissectrice issue du sommet $A$ et la médiatrice de $[BC]$ se coupent sur le cercle circonscrit à $ABC$.
    Conclusion: $P$, $A$, $B$, $C$ sont cocycliques.

    On sait que $(AP)$ est la bissectrice issue de $A$ parce qu'elle passe par le centre du cercle inscrit à $ABC$.
    ...
  • Chaurien
    Chaurien
    Moi j'ai observé que $P$ se projette sur $IB$ en son milieu $W$ et sur $IC$ en son milieu $U$.
    L'homothétie de centre $I $ et de rapport $2$ transforme $W$ en $B$, et $U$ en $C$, et elle transforme donc $P$ en un point $J$ tel que $JB\perp IB$ et $JC\perp IC$.
    Les droites $BJ$ et $CJ$ sont donc les bissectrices extérieures du triangle $ABC$ relatives aux sommets respectifs $B$ et $C$.
    Le point $J$ est donc le centre du cercle exinscrit dans l'angle $A$.
    J'ai d'abord eu un doute, mais ça avait l'air bon.
  • df
    df
    Bonjour,

    le corrigé du "Monde" paru Mercredi dernier:73090
  • Dom
    Dom
    À la bonne heure !!!

    Le Monde proposait jadis dans l'édition du mardi ces "affaires de logique".
    Puis les Sudoku sont arrivés dans ce journal...

    Un bouquin est sorti avec tous ces problèmes de maths.
    Enfin, est-ce exhaustif ? Je ne le sais pas.

    Du coup, s'agit-il de nouveaux problèmes ? Ou bien d'un recyclage ?

    J'essaierai de vous dire cela, tantôt...
  • jacquot
    jacquot
    Bonjour,
    Bref, un exercice de géométrie bien classique qui se résout par une chasse aux angles avec les outils du collégien. il n'y a pas de quoi s'émouvoir sauf à critiquer la présentation.

    Pourquoi présenter une boule de glace dans une coupe conique ? On a là un problème de géométrie plane, la boule et le cône ne peuvent que troubler la réflexion. D'ailleurs cette paille dont l'extrémité est équidistante du centre de la boule et de deux points diamétralement opposés de l'ellipse formée par la surface libre de la crème anglaise dans cette coupe bizarrement inclinée, donne un parfum bien artificiel à cet exercice.

    Oui, parce qu'il faut que la coupe soit inclinée pour que le triangle $ABC$ ne soit pas isocèle et alors le dessin du support de la coupe, que l'on a soigneusement effacé dans le corrigé me crée un certain malaise. Bref, c'est le type d'exo pseudo-concret que je n'aurais pas osé donner à mes élèves de peur d'alimenter cette idée que les math consistent construire des problèmes compliqués et inutiles puis à dorer la pilule pour leur faire avaler.
    Amicalement. jacquot
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