$\pi$ et nombres premiers

Aucun lien avec la fonction de comptage des nombres premier.
Je parle de $\pi=3.14159...$

Comment faites vous pour trouver rapidement qu'elle diverge?

Je n'ai aucune certitude c'est pour cela que je pose la question.

$\displaystyle\sum\frac{1}{p_i}$diverge, belle remarque. Comment faites-vous pour sortir le sinus de la somme arithmétique?

Pour que la somme converge, il faut donc que le dénominateur grimpe plus vite.
J'ai essayé avec les entiers naturels, j'ai vite vu que la somme divergeait $$
\sum_{k=2}^{+\infty}\sin\big(\frac{\pi}{k}\big)=+\infty.
$$ Puis avec les nombres premiers, c’était moins évident pour moi $$
\sum_{i=1}^{+\infty}\sin\big(\frac{\pi}{p_i}\big)=+\infty.
$$ Il reste les puissances et une infinité de solutions. $$
\sum_{k=2}^{+\infty}\sin\big(\frac{\pi}{k^2}\big)= \quad ?
$$ C'est vrai que je tire un peu au hasard Shah d'Ock et que les probabilités de trouver $\pi$ sont très large.
J'ai déjà éliminé deux candidats, c'est déjà ça.
Dommage, ça me plaisait bien de commencer par un polygone à deux cotés suivi du triangle conspirationniste pour les illuminati.
Il me reste les nombres de [large]F[/large]ibonacci qui passent par 2 et 3 et qui grimpent plus vite.
Mais un polygone a un côté !!! Je pense que la longueur d'un coté est égale à 0.
Cette fichue calculette me donne $\sin\big(\frac{\pi}{1}\big)=4,58236\times10^{-603}$ !!!
Non non, un polygone à un coté n'est pas possible.

[Leonardo Fibonacci (1170-1250) prend toujours une majuscule. AD]