rectangle collège
dans Géométrie
Bonjour
je bloque sur un exercice qui doit être résolu au niveau 5ème, j'ai une solution évidente avec le théorème de la droite des milieux mais je ne peux pas l'utiliser ici.
ABC triangle, D symétrique de B par rapport à (AC). I J k et L les milieux respectifs de [AB] [BC] [CD} et [DA].
Donner la nature de IJKL (rectangle )
j'arrive facilement à montrer que (IL) // BD// (JK) à l'aide de la symétrie:
(AC) perpendiculaire à [BD] et le coupe en son milieu donc (AC) médiatrice de [BD]
donc AB=AD et CB=CD.
AI= AL donc A appartient à la médiatrice de [IL] donc (AC) perpendiculaire à (IJ)
de même (AC) perpendiculaire à (JK)
deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles donc
(IL) // ( BD) //(JK)
mais ensuite je bloque. j'ai essayé de travailler avec la conservation des angles par symétrie mais je n'aboutis à rien....
je bloque sur un exercice qui doit être résolu au niveau 5ème, j'ai une solution évidente avec le théorème de la droite des milieux mais je ne peux pas l'utiliser ici.
ABC triangle, D symétrique de B par rapport à (AC). I J k et L les milieux respectifs de [AB] [BC] [CD} et [DA].
Donner la nature de IJKL (rectangle )
j'arrive facilement à montrer que (IL) // BD// (JK) à l'aide de la symétrie:
(AC) perpendiculaire à [BD] et le coupe en son milieu donc (AC) médiatrice de [BD]
donc AB=AD et CB=CD.
AI= AL donc A appartient à la médiatrice de [IL] donc (AC) perpendiculaire à (IJ)
de même (AC) perpendiculaire à (JK)
deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles donc
(IL) // ( BD) //(JK)
mais ensuite je bloque. j'ai essayé de travailler avec la conservation des angles par symétrie mais je n'aboutis à rien....
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Réponses
Sur ce forum de géométrie, tu auras plus de chance que quelqu'un s'intéresse à ta question si tu joins une figure.
Ensuite j'ai un doute sur l'enchaînement des "donc".
Par exemple AD=AB est immédiat d'après la définition de D.
Domi
petite erreur en effet, je voulais dire que (AC) perpendiculaire à (IL) par définition de la médiatrice
tu peux utiliser utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que (IJ)//(AC)//(LK) et aussi que (IL)//(BD)//(JK)
et après il te suffit de trouver un seul angle droit pour monter que IJKL est rectangle, (tu peux utiliser la perpendicularité de (AC) et (BD) pour cela.
Bonne journée à toi.
"un quadrilatère qui a ses diagonales de même longueur n'est pas forcément un rectangle" mais un parallélogramme oui .
et je ne peux pas utiliser le théorème de Thalès sinon en effet c'est très simple. On doit juste utiliser les propriétés de 5ème
C'est une propriété de la symétrie axiale.
Son image est intersection de (LJ) avec (AC).
Ou plus simple (pour des profs, disons, en raison du vocabulaire), les points de (AC) sont les points fixes de la symétrie d'axe (AC).
Remarque : j'ai oublié l'argument qui permet de dire que c'est le milieu.
De la médiatrice du segment [IL], tu connais le seul point A, je trouve donc ta conclusion de perpendicularité fort suspecte.
bref cet exercice m'a paru très facile à résoudre en me plaçant au niveau 4ème, mais en 5ème je bloque....
Une discussion de géométrie sans le début du commencement de la moindre figure, c'est un peu pédaler dans de la semoule!
Mais c'est normal puisque la géométrie est morte!
Amicalement
[small]p[/small]appus
L'exercice sur le parallélogramme de Varignon est un classique du programme de Quatrièmes. On en a ici une variante.
Je ne suis pas sûr qu'on puisse le résoudre avec les outils d'un élève de Cinquièmes. D'ailleurs si aucune solution n'a été fournie jusque là, comment voudriez-vous qu'un petit Cinquièmes le plie ?
En Cinquièmes, les démonstrations ne sont que balbutiements, on en reste au stade de justifications.
De façon générale, il est prudent de ne pas donner un exo de niveau $n$ à des élèves de la classe $n-1$... ne pas griller d'emblée toutes ses cartouches.
c'est un exercice de capes interne à résoudre au niveau 5ème. (pas d'erreur cette fois dans l'énoncé).
merci quand même à tous
Peut-être ceci:
$I$ est le centre du demi-rectangle $AOB$ et $J$ celui du demi-rectangle $BOC$ donc $IJ $ est la médiatrice de $[OB] $ (équidistance)...
Je fais donc le constat suivant : un élève de cinquième connaît ce résultat, mais ne connaît pas le théorème de la droite des milieux ; est-ce réellement possible ?
Qui est O ? Nous n'avons pas été présentés.
Je me défausse de ma négligence sur alibabadu59 qui a été infichu de nous joindre une figure.
ce que vous proposez est encore du niveau 4ème.
merci à tous quand même.
@gb
Un élève de 6e est censé savoir que la symétrie axiale conserve l'alignement (je pense qu'admettre qu'une droite est transformée en une droite est légitime et satisfait les plus incrédules) puis que c'est une isométrie (dans la définition empirique, c'est à dire par le pliage et donc par la notion de "superposable") donc (là on raisonne un peu) que les milieux sont conservés.
Il s'agit de notions assez difficiles pour eux (en fait, c'est le caractère affine - l'alignement - et le caractère euclidien ensuite). Je veux dire que le "sens" est difficile...et pourtant si simple, pour nous.
Le théorème de la droite des milieux n'est plus au programme.
C'était, jadis (avant 2016), en 4e. On se servait de la 5e (symétrie centrale et tout le parallélogramme) pour le démontrer.
La démonstration (enfin, celle qui me vient) faisait appel à la construction d'un nouveau point. C'était donc intéressant : « on sort de la figure et on démontre ce que l'on veut. ».
Évidemment, elle était comprise/assimilée "dans sa teneur" par peu d'élèves. Je ne blâme pas les autres, sans géométrie et sans habitude de la démonstration, c'est naturel de se perdre et de ne rien coprendre, faute de recul.
Ainsi, cela ne me choque pas : ta remarque "est-ce réellement possible ?" m'interroge.
Ai-je loupé quelque chose ?(c'est sincère, cela m'intéresse).
L'un entraîne l'autre de manière "évidente" ?
Explicitement : la conservation des milieux entraîne le théorème de la droite des milieux de manière évidente ?
Les indications de @jacquot fonctionnent.
En 5e on a le droit à toute la géométrie des parallélogrammes et donc aussi des rectangles.
Ainsi, les "demi-rectangles" sont autorisés.
Il démontre (IJ) médiatrice de (BO) et de même pour (LK).
La conclusion est : IJKL est un parallélogramme avec les diagonales de même longueur.
Tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à sa médiatrice, au programme de Cinquièmes ?
(je n'ai jamais passé le capes interne mais l'externe il y a longtemps, c'est juste pour m'amuser)
Allez, un léger bémol pour mettre tout le monde d'accord : en février, c'est un peu tôt ;-)
En 5e : (encore maintenant)
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
Et toutes les variantes incluant ou non le caractère "parallélogramme".
Il me semble que cela suffit, dans cet exercice.
En 4e : (ce qui n'est plus dans les programmes)
Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse.
Et la réciproque.
NB : c'est tout de même un exercice d'une grande difficulté, je ne le nie pas.
Disons qu'au CAPES, interne ou externe, on se place dans le cas où l'élève a le niveau "expert" des programmes officiels.
La symétrie de centre $I$ envoie $A$ sur $B$ et $O$ sur $ O_I$.
Donc $OAO_IB$ est un parallèlogramme de centre $I$.
Or son angle $O$ est droit,
donc c'est un rectangle,
donc ses diagonales sont de même longueur,
donc ses demi-diagonales sont de même longueur,
donc $I$ est équidistant de $O$ et de $A$,
donc $I$ est sur la médiatrice de $[OA]$.
On prouve de même que $I$ est sur la médiatrice de $[OB]$, puis que $J$ est sur la médiatrice de $[OB]$ et
donc que $(IJ)$ est la médiatrice de $[OB]$.
On prouve de même que $(IL)$ est la médiatrice de $[OA]$.
Donc $(IJ)$ et $(IL)$ sont respectivement perpendiculaires à $(OB)$ et $(OA)$.
Or $(OB)$ et $(OA)$ sont elles-mêmes perpendiculaires.
Donc $(IJ)$ et $(IL)$ sont perpendiculaires.
Donc l'angle $I$ de $IJKL$ est droit et les autres aussi par le même raisonnement.
Donc $IJKL$ est un rectangle.
Souvenir, souvenir...
Paul