Un exercice pour artilleurs

Zéro. En supposant bien sûr que le terrain est horizontal, càd que la pièce n'est pas positionnée en hauteur.
C'est l'histoire du cheval blanc d'Henri IV.

Tu n'as pas parlé de ligne de mire, qui a une signification bien précise, mais de ligne.
Sans cette précision, ligne me semble assez naturellement désigner la trajectoire du projectile.

Bonsoir
Vive les artilleurs, ma mère, vive les artilleurs
Qui tirent un coup tous les quarts d'heure, vive les artilleurs.
Il ne faut quand même pas oublier qu'au bout du bout de la trajectoire trigonométrique, il y a des êtres humains qui morflent, en général des femmes et des enfants. Il suffit d'ouvrir sa télé pour le savoir!
Amicalement
[small]p[/small]appus

J'ai retrouvé cet exercice dans : Cours de mathématiques, rédigé en 1813 pour l'usage des écoles militares par MMM. Allaize, Billy, Boudrot, Puissant.
On le trouve sur Google Books, ou bien : https://archive.org/details/bub_gb_eMEXNLGoYGMC
Mais je ne comprends pas le sens des termes utilisés dans la question.

La vidéo de Dasson évoque la question des trajectoires d'un projectile avec une vitesse initiale de norme constante, lorsque varie l'angle qu'elle fait avec l'horizontale. Négligeant la résistance de l'air, ces trajectoires sont des paraboles. Il est remarquable que ces trajectoires enveloppent une autre parabole, appelée parabole de sécurité.

Il y a bien longtemps que les enveloppes de courbes ne sont plus au programme des classes préparatoires, mais on peut quand même poser ce problème. Il suffit de chercher l'ensemble des points qu'on peut atteindre, et l'on constate que c'est une région du plan délimitée par cette parabole. On montre alors que les trajectoires sont tangentes à cette parabole, ce qui semble bien naturel, mais encore faut-il le vérifier.

La vidéo montre aussi que les paraboles-trajectoires ont toutes la même directrice, qui est la tangente au sommet de la parabole de sécurité. Beaux résultats, que j'avais vus quand j'étais élève de Math-Elem, il y a *** années.

Moi les canons ça ne me gêne pas s'ils sont braqués sur les méchants qui le méritent : ce n'est pas avec de bonnes paroles que nos pères sont venus à bout de Hitler. Maintenant, si ça gêne, on peut poser la question avec un tuyau d'arrosage, et même l'expérimenter dans son jardin.

Version correcte du chant des artilleurs :

Il y en a une autre plus coquine, que chacun peut trouver.

Bonne journée, de plus en plus froide, espérons que ce sont les dernières salves du général Hiver.
Fr. Ch.

Bonjour
Suivant une remarque de Chaurien, voici un moyen de présenter cet exercice sans profaner la mémoire de ceux qui sont morts à cause des armes que nous avons vendues à leurs assassins!
On se donne dans le plan euclidien un point $A$ et une droite $\Delta$.
Etudier la famille $\mathcal F$ des paraboles $\Pi$ passant par $A$ et de directrice $\Delta$.
J'emploie le verbe étudier volontairement assez vague pour vous laisser le plaisir de poser les bonnes questions.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
La modélisation de Chaurien ne s'occupe que de la partie géométrique.
Pour exterminer les ennemis de la République, il est essentiel de connaître le temps de parcours $T$ de la trajectoire et cela seul un calcul dynamique permet de le déterminer.
Sur l'obus démocratique existait une bague qu'on pouvait tourner plus ou moins dans un sens ou dans un autre et permettant de le faire exploser à $T-\epsilon$ à une hauteur suffisante du sol pour exterminer le maximum de vermine antirépublicaine.
Cela c'était autrefois dans un autre siècle maintenant avec les nouvelles technologies, on a plus à s'occuper de rien.
On a même plus besoin d'être sur place!
On dispose de smart shells tout comme le pékin moyen a son smart phone!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
Le lieu des foyers est bien le cercle, (privé de son point de contact $T$), donné par notre ami gb.
On pourrait réintégrer $T$ dans le lieu mais c'est du pinaillage de géométrie analytique, je ne chicanerai donc pas!
Je suis le chemin suggéré par Chaurien et je cherche les paraboles de la famille $\mathcal F$ passant par un autre point $B$.
Ma figure prétend construire ces paraboles, ici au nombre de deux, mais volontairement j'ai laissé tomber la discussion.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Le lieu des foyers des paraboles \(\Pi\) passant par le point \(B\) est le cercle de centre \(B\) tangent à \(\Delta\). Le nombre de paraboles passant par \(B\) dépend donc de la position des cercles de centres \(A\) et \(B\) et tangents à \(\Delta\) :
– deux paraboles si les cercles sont sécants (cas du point \(B_2\), paraboles de foyer \(F_1\) et \(F_2\)) ;
– une parabole si les cercles sont tangents (cas du point \(B_1\), parabole de foyer \(F_1\)) ;
– aucune parabole si les cercles sont disjoints (cas du point \(B_0\)).

Le lieu des points \(B_1\) (centre d'un cercle tangent à un cercle et à une droite donnés) est la parabole de foyer \(A\) et de directrice la translatée de \(\Delta\) par le vecteur \(\overrightarrow{AH}\) (\(H\) projection orthogonale de \(A\) sur \(\Delta\)), c'est-à-dire l'enveloppe des paraboles \(\Pi\).

Ce lieu régionne le plan :
— les points \(B_2\) sont à l'intérieur de l'enveloppe des paraboles \(\Pi\) ;
— les points \(B_0\) sont à l'extérieur de l'enveloppe des paraboles \(\Pi\) ;
ce qui permet de conclure que l'enveloppe est la parabole de sûreté.

Bonne Nuit
J'ai demandé au logiciel de me tracer l'enveloppe des ellipses de la famille $\mathcal F$ et j'ai obtenu une ellipse que j'oserai appeler ellipse de sureté.
Il reste à trouver le champ qui compte tenu des symétries devrait être un champ central de centre $O$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir
Il est surprenant que nos amateurs d'artillerie n'aient pas eu la curiosité de chercher ce champ central
Le point matériel $M$ de masse $m$ est soumis au champ central $\bf F$$=-m\omega^2\overrightarrow{OM}$, (force élastique?).
A l'instant $t=0$, le point $M$ est en $A$ et sa vitesse a un module donné $v$.
Bon courage dans les calculs mais cela m'étonnerait fort qu'il y ait beaucoup de candidats!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir
Je sais que je dois m'y coller puisque personne ne viendra mais pour moi c'est un voyage en remontant le temps vers une époque où le cours de Mécanique faisait partie intégrante du cours de Mathématiques.
On choisit un repère orthonormé au centre du cercle $\Gamma$ en sorte que les coordonnées du point $A$ soient $(a,0)$
Les équations de la dynamique nous donnent:
$x''+\omega^2x=0$, $y''+\omega^2y=0\ $
Les solutions sont de la forme:
$x=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$
$y =C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)$
On écrit les conditions initiales:
$x(0)=A=a$ et $y(0)=C=0$
Au niveau des vitesses, cela donne:
$x'=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t)$
$y'=D\omega\cos(\omega t)\ $
Pour $t=0$, on a donc:
$v\cos(\theta)=B\omega$ et $v\sin(\theta)=D\omega$
D'où les équations du mouvement:
$x = a\cos(\omega t)+\dfrac{v\cos(\theta)}{\omega}\sin(\omega t)$
$y=\dfrac{v\sin(\theta)}{\omega}\sin(\omega t)$
A ce stade là, si on possède un minimum de culture géométrique, on sait que les trajectoires sont des ellipses mais Saint Thomas est plus rassuré en écrivant l'équation cartésienne:
$\sin(\omega t)=\dfrac{\omega y}{v\sin(\theta)}$
D'où $x=a\cos(\omega t)+\dfrac{v\cos(\theta)}{\omega}.\dfrac{\omega y}{v\sin(\theta)}=a\cos(\omega t)+y\cot(\theta)\ $
Finalement:
$\cos(\omega t)=\dfrac{x-y\cot(\theta)} a$
D'où l'équation cartésienne des trajectoires:
$$\dfrac{(x-y\cot(\theta))^2}{a^2}+\dfrac{\omega^2y^2}{v^2\sin^2(\theta)}=1$$
Maintenant il est clair que les trajectoires sont des ellipses à cause de la décomposition en carrés qu'on a sous les yeux.
A suivre
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
En posant $\lambda =\cot(\theta)$, l'équation des trajectoires s'écrit:
$$\dfrac{(x-\lambda y)^2}{a^2}+\dfrac{\omega^2y^2}{v^2}(1+\lambda^2)-1=0$$
Ce qui s'écrit:
$$(\dfrac 1{a^2}+\dfrac{\omega^2}{v^2})y^2\lambda^2-\dfrac{2xy}{a^2}\lambda+\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\omega^2y^2}{v^2}-1=0$$
C'est une situation classique!
On tombe sur une équation du second degré dont il faut discuter la réalité des racines.
Est-ce encore enseigné?
On écrit le discriminant réduit:
$$\Delta'=\dfrac{x^2y^2}{a^4}-(\dfrac 1{a^2}+\dfrac{\omega^2}{v^2})y^2(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\omega^2y^2}{v^2}-1)\ $$
Amicalement
[small]p[/small]appus