Produit scolaire.

ev · February 2018

Dans l'espace, j'appelle produit scolaire des vecteurs $ \overrightarrow{u} $ et $ \overrightarrow{v} $, le réel
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac14 \left( \Vert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \Vert^2 - \Vert \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \Vert^2 \right) \]

Avez-vous une démonstration ( bien géométrique ? ) pas trop compliquée, du fait que le produit scolaire est bilinéaire ?

Vous comprendrez que je n'ai pas le droit au produit scalaire. Pour moi, c'était privé de produit scalaire ou privé de dessert, vous imaginez que j'ai choisi le dessert.

On trouve sur le net des démonstrations qui sont de pures escroqueries.

Terracher et Ferachoglou dans leur cours de TS (1998) mettent les pouces (p. 360) et admettent le résultat.

J'ai réussi à pondre quelque chose de pas trop direct qui mériterait une médaille de slalom les yeux bandés pour intoxiqué éthylique.

Ferez-vous mieux que ces trois possibilités ?

D'avance, merci.

e.v.

Chaurien · February 2018

On a droit à quoi ?

ev · February 2018

On a droit au produit scalaire dans le plan et aux règles d'incidence dans l'espace.

Mais pas aux propriétés d'orthogonalité dans l'espace - du genre du théorème de la porte.
Il se trouve que ma solution passe par (le théorème de) la porte. Mais j'aimerais quelque chose de plus direct.

En revanche, si tu me fournis une belle solution géométrique, tu auras droit à ma part de dessert.

e.v.

Bruno · February 2018

Bonsoir ev.

Comment est définie la norme ?

Bruno

ev · February 2018

Bonsoir Bruno.

La norme d'un vecteur c'est la distance (euclidienne) entre son origine et son extrémité.
Tout ça au sens du lycée voire du collège.

amicalement,

e.v.

Bruno · February 2018

Si j'ai bonne mémoire, j'ai souvent dit à mes candidats : "Si vous voulez vous faire étendre à l'oral du capes, choisissez cette caractérisation du produit scalaire comme définition et vous vous retrouverez incapables de faire le lien entre l'algèbre bilinéaire et la géométrie élémentaire en 15 mn" :-D.

Bruno

P.S. Ce qui signifie que je te laisse ta part de dessert, ce qui n'est pas grave, je suis diabétique !

ev · February 2018

Bruno,

Si tu veux, tu peux définir la norme à partir du produit scalaire dans le plan.
Mais ça serait un peu circulaire vu qu'on définit le produit scalaire plutôt à partir de la norme/distance, de nos jours.

Vois-tu ?

e.v.

Bruno · February 2018

Bien sûr...

gb · February 2018

Bonjour,

Sait-on que la norme euclidienne du plan satisfait l'identité du parallélogramme ?

Eric · February 2018

Et si l'on sait que la norme euclidienne du plan satisfait l'identité du parallélogramme, alors le théorème de Fréchet--von Neumann--Jordan règle le problème. Reste plus qu'à trouver une démonstration de ce théorème "pas trop compliquée" (désolé, je n'ai pas ça en stock et je doute que cela existe ...).

gb · February 2018

Il suffit de trois lignes de calcul algébrique, et d'un gros argument quant à la structure des nombres réels.

ev · February 2018

Bonjour à tous.

J'ai droit à l'identité du parallélogramme. [size=x-small]Enfin je crois, pas trop sûr quand même, je ne mettrais rien au feu que je ne puisse regretter après coup. Je n'ai pas encore fait le chapitre "produit scalaire dans le plan" en raclant les détails dans les coins. L'expérience évoquée plus haut prouve qu'on ne peut faire confiance à personne. Sauf sur le Phôrüm bien sûr ![/size]

Maintenant je vous vois venir avec vos gros arguments sur la structure des nombres réels. La continuité des fonctions de plusieurs variables réelles, la densité des rationnels dans $ \R $, ça risque d'être mal perçu par des lycéens aussi bien intentionnés soient-ils.

Ces individus fragiles et léthargiques sont capables de vous enfermer soudainement à fond de cale, avec les fers aux pieds et un carré à la tête, pour peu que vous les agressiez avec des saloperies mal identifiées qui n'ont en aucun cas le droit de pénétrer dans leurs univers par effraction. J'en ai deux comme ça sous mon toit et je suis en mesure de vous dire en temps réel où j'ai planqué la clé de la cave.

Merci en tout cas et bon dimanche.

e.v.

Chaurien · February 2018

Bon on est toujours dans le flou avec la géométrie élémentaire du collège.
Je me souviens une année j'avais été recruté par Paris VI pour donner des cours de préparation au CAPES, et sympas, les collègues m'avaient refilé la patate chaude de la géométrie. À chaque fois je souffrais mille morts faute de savoir ce qu'on admettait et ce qu'il fallait prouver.
On pourrait peut-être réunir un groupe de travail en ligne pour discuter d'une axiomatique raisonnable de la géométrie élémentaire.
Bonne journée.
Fr. Ch.

ev · February 2018

@ Bruno.

Je crois comprendre comment tu veux t'en sortir :
1. Étude du produit scalaire dans le plan.
2. Établissement du fameux $ xx' + yy' $ dans un repère orthonormé.
3. Débarquement dans l'espace et comment qu'on pourrait généraliser le produit scalaire du plan dans l'espace ? Hein ? z'avez des idées ?
$ \blacktriangleright $ Euh, on pourrait pas revenir à la définition avec les longueurs ?
$ \bullet $ Nan ! on va se faire des nœuds à la dure-mère et courir en rond comme des canards sans tête ! Autre chose ?
$ \blacktriangleright $ On pourrait prendre le $ xx' + yy' $.
$ \bullet $ Comme ça ? (tu me diras on aurait la bilinéarité...) On ajoute rien ? (faux cul comme c'est pas permis !)
$ \blacktriangleright $ Ben peut-être $ xx' + yy' + zz' $ ???
4. Retrouver les propriétés du produit scalaire dans n'importe quel plan.

amicalement,

e.v.

Mais j'ai peur de tourner en rond, c'est-à-dire d'avoir besoin de retrouver l'expression de la distance dans un repère orthonormé, ce qui de toutes façons permet de tout établir ce qu'on veut.

Bruno · February 2018

C'est très loin tout ça, je vais essayer de retrouver la démarche d'ici demain !

Bruno

Dom · February 2018

Très bonne idée @Chaurien.
La création d'un tel fil est assez difficile, quant aux contours à définir.
Le plus dur sera de rester dedans et de ne pas dévier vers des choses imbitables pour des petites têtes blondes ou brunes ;-)

Depuis quelques années j'ai dans l'idée de créer un exercice de style, un peu maso d'ailleurs : n'utiliser que les programmes officiels pour créer une axiomatique "accessible" et permettant de tout mettre en cohérence.

pappus · February 2018

Bonjour
Si le vecteur $\vec V\ $ a pour composantes $(x,y,z)$ dans un repère orthonormé, tout ne revient-il pas à montrer que:$\parallel \vec V \parallel^2=x^2+y^2+z^2$ en appliquant deux fois de suite l'axiome de Pythagore sinon cela ne fera qu'un axiome de plus!
Une fois ceci fait, on peut s'amuser à calculer \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =
\dfrac14 \left( \Vert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \Vert^2 - \Vert \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \Vert^2
\right) \]

ev · February 2018

Bonjour Pappus.

Entièrement d'accord, dès que j'ai $ \Vert \vec V \Vert^2=x^2+y^2+z^2 $, le reste tombe tout rôti dans le bec.

Encore faut-il montrer que le vecteur $ (x,y,0) $ dirige une droite perpendiculaire à $ Oz $, et ça c'est le théorème de la porte. C'est ce que j'ai fait et je préférerais y arriver sans me prendre la porte.

Même si je commence à en avoir l'habitude.

Bon dimanche,

e.v.

pappus · February 2018

Merci ev
Je connaissais La Sublime Porte, mais c'est bien la première fois de ma vie que j'entends parler de ce théorème!
En tout cas, je préfère voir la Géométrie comme une belle femme que comme les Tables de La Loi!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bruno · February 2018

pappus, c'est le théorème qui permet d'ouvrir et de fermer une porte (selon Musset)

Bruno

soland · February 2018

Pour rester avec la distance seule, on peut définir indépendamment de la dimension
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} := \frac{1}{2}(|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2)
$$
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} := \frac{1}{2}(|AD|^2+|BC|^2-|AC|^2-|BD|^2)
$$