barycentres et symétrie affine

Bonjour df
Si tu avais lu mes récentes discussions sur la géométrie affine, tu aurais appris beaucoup de choses et notamment que les coordonnées barycentriques normalisées, i.e: $(x,y,z)$ avec $x+y+z=1$ sont des fonctions affines mais j'ai l'impression de prêcher au pire, au milieu de béotiens en géométrie et en algèbre linéaire et au mieux dans le désert!
Je vois que dans ton message, tu parles d'un point $p$ de coordonnées barycentriques absolues $p(\alpha,\beta,\gamma)$. Est-ce la même chose que normalisées?
Autrement dit supposes-tu que $\alpha+\beta+\gamma=1$?
En soixante dix ans de géométrie affine, c'est bien la première fois que j'entends parler de coordonnées barycentriques absolues!
En tout cas voici ta figure.
Raisonne sur les coordonnées barycentriques normalisées des points $a$, $q$, $s_a(a)$ en tenant compte de ce que je viens de te dire sur le caractère affine de ces coordonnées.
En fait l'exercice revient à écrire les coordonnées barycentriques normalisées de ces trois points.
Je vais être gentil, je te donne celles de $a$: $(1,0,0)$. Il te reste les deux points $q$ et $s_a(a)$ à te farcir!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher df
1° Tu parles beaucoup mais tu n'as calculé que dalle!
2° Si ce que tu me racontes sur les coordonnées barycentriques est vrai, alors dans l'énoncé $(\alpha:\beta:\gamma)$ sont des coordonnées homogènes du point $p$.
Remarque qu'il est alors traditionnel de séparer les coordonnées barycentriques homogènes par des $:$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Les coordonnées homogènes n'ont d'intérêt que si on travaille dans le prolongé projectif du plan affine.
Comme le plan projectif a disparu, on comprend que ces coordonnées soient seulement source de confusion.
Elles pourraient retrouver une certaine efficacité dans le prolongé vectoriel du plan affine, autant rêver!
Alors que faire?
Quand on a une "bestiole" qui prétend avoir des coordonnées homogènes $(x:y:z)$, alors:
1° ou bien $x+y+z\ne 0$ et la bestiole en question n'est qu'un vulgaire point du plan affine à savoir le point $M$ de coordonnées barycentriques normalisées: $(\dfrac x{x+y+z},\dfrac y{x+y+z},\dfrac z{x+y+z})$
Alors pour tout point $O\ $ du plan, on a:
$$\overrightarrow{OM}=\dfrac x{x+y+z}\overrightarrow{OA}+\dfrac y{x+y+z}\overrightarrow{OB}+\dfrac z{x+y+z}\overrightarrow{OC}$$
On se permet alors de laisser tomber le point $O$ et on écrit:
$$M=\dfrac x{x+y+z}.A+\dfrac y{x+y+z}.B+\dfrac z{x+y+z}.C$$
Si on a eu le courage de s'éduquer et d'apprendre ce qu'est le prolongé vectoriel du plan affine, cette dernière égalité devient plus qu'une convention d'écriture.
2° ou bien $x+y+z=0$, alors la bestiole en question est un vecteur $\bf V$ obtenu de la façon suivante:
pour tout point $O\ $ du plan, on a:
$\bf V$$=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$
Là aussi on se permet de laisser tomber le point $O$ et on écrit:
$\bf V$$=x.A+y.B+z.C$
Comment calcule-t-on ce vecteur $\bf V$?
On voit apparaître le rôle, qui aurait été primordial, des fonctions vectorielles de Leibnitz en géométrie affine, si elles aussi n'avaient disparu dans l'Analphabétisme Républicain.

Quel intérêt de s'embêter avec un déterminant ? Puisque $p$ est le barycentre de $(a,\alpha)$, $(b,\beta)$ et $(c,\gamma)$, l'intersection de la droite $(ap)$ avec la droite $(bc)$ (qui existe par hypothèse) est le barycentre de $(b,\beta)$ et de $(c,\gamma)$.

Bonjour df

df a écrit:

Calcul des coordonnées barycentriques normalisées du point $s_a(a)$.
Du fait de l'alignement des points $a$, $q$ et $s_a(a)$ peut-on dire que:
$s_a(a)=(u:v:w)=\lambda \big(0: \frac{\beta}{\beta+\gamma} : \frac{ \gamma}{\beta+\gamma})$

Les mathématiques ne sont pas une question de devinettes et en l'occurence, non seulement tu as deviné faux mais je vois que tu n'as pas compris la notion de coordonnées barycentriques normalisées puisque les coordonnées que tu donnes de $s_a(a)$ sont complètement erronées.
Tu as sous les yeux les coordonnées barycentriques normalisées du point $A(1,0,0)$ et du point $q(0,\frac{\beta}{\beta+\gamma},\frac{\gamma}{\beta+\gamma})$ que j'ai eu la gentillesse de te calculer.
Sachant que $q$ est le milieu des points $A$ et $s_a(a)$ et que les fonctions coordonnées barycentriques normalisées sont des fonctions affines, (combien de fois faudra-t-il le répéter?), les coordonnées barycentriques normalisées $(u,v,w)$ du point $s_a(a)$ s'écrivent en un tournemain!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bon, alors tu as tout ce qu'il faut. L'associativité des barycentres, tu connais ?

Bonjour
Voici quelques erreurs de df:

df a écrit:

Le point $q$ étant aligné avec $p$: ses coordonnées barycentriques sont des multiples des coordonnées $(\alpha, \beta, \gamma)$.

C'est faux et archifaux!! Deux points dont les coordonnées barycentriques sont proportionnelles sont les mêmes!!

df a écrit:

p.s: "absolues" et "homogènes" sont bien synonymes: la somme des coordonnées est égale à 1.

Faudrait savoir!
Quand on parle de coordonnées barycentriques homogènes, la somme des coordonnées barycentriques $x+y+z$ est quelconque.
Je remarque que quand je lui pose une question, il me répond en citant des tartines de cours!
Ce n'est pas cela que je veux!
Tout ce que je veux, c'est l'application du cours au cas concret qu'on étudie!
On a: $$s_a(a) =2.q-A$$
Donc si $(x,y,z)$ sont les fonctions coordonnées barycentriques normalisées, on a:
$x(s_a(a))=?$, $y(s_a(a))=?$, $z(s_a(a))=?$
Cela doit aller aussi vite que cela!!

df a écrit:

@gbz:

Si $I$ est le milieu de $M$ et $N$ alors:$\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$.
Si $N$ est le barycentre de $[(M;a);(I,b)]$, alors $a\overrightarrow{NM} + b\overrightarrow{NI} = \overrightarrow{0}]$, avec $a+b \neq 0$.
Donc $N$ est le barycentre de $[(M,-1);(I,2)]$ puisque la distance de $M$ à $N$ est le double de celle de $I$ à $N$.

Il n'y a pas de distance en géométrie affine!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
En géométrie affine, le rapport de trois points alignés $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$ se définit sans faire appel à la notion de distance.
Ce n'est que bien après, une fois qu'on a muni le plan affine d'une métrique euclidienne arbitraire, qu'on peut montrer les liens existant entre les deux structures affine et euclidienne.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour pappus,

Quelques calculs matinaux en coordonnées barycentriques :
On travaille dans la base $(a,b,c)$ du prolongé vectoriel du plan affine, ce qui permet de réaliser des calculs sans avoir la pétoche !

$ap:\gamma y-\beta z=0$ et $bc:x=0$ donc $$q\left(0,\frac{\beta}{\gamma+\beta},\frac{\gamma}{\gamma+\beta}\right).$$ De plus, $s_a(a)=2q-a$ donc $$s_a(a)\left(-1,\frac{2\beta}{\gamma+\beta},\frac{2\gamma}{\gamma+\beta}\right).$$

Mon cher df
Cela m'attristait de te voir buter sur le B.A.BA de la géométrie affine et je me rendais un peu responsable du fait que tu ne comprenais pas mes explications.
Je ne peux que te donner un conseil: plutôt que de psalmodier ton cours comme une incantation salvatrice, fais des exercices et encore des exercices ad nauseam à commencer par celui sur la localisation du point $M(\alpha:\beta:\gamma)$ que je viens de donner à Gai Requin.
Essaye de trouver avant lui! Ce n'est pas très difficile et c'est un beau défi!
Amicalement
[small]p[/small]appus