Rotation au collège.. sans orienter le plan !
Bonjour à tous,
Un petit exercice de style m'encourage à créer ce fil.
Je ne considère que les angles géométriques (ou secteurs angulaires).
J'ai le droit aux angles saillants, notés avec le chapeau à l'endroit $\widehat{\quad}$.
Je ne souhaite pas parler d'orientation du plan (pas de "flèche", ni d'aiguilles de montre).
Je ne souhaite pas non plus parler de mesure (Edit )
La définition suivante vous semble-t-elle correcte ?
Définition :
On considère trois points distincts $O$, $A$, $B$ tels que $OA=OB$.
Soit $M$ un point du plan distincts de $O$.
On dit que $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $B$ lorsque les trois conditions suivantes sont réunies :
1) $OM'=OM$
2) $\widehat{AOM}=\widehat{BOM'}$
3) $\widehat{AOB}=\widehat{MOM'}$
Je n'encourage pas à suivre cela dans le secondaire.
J'ai failli poster dans "Pédagogie" mais cela pourrait créer des ambiguïtés.
"Géométrie" semble alors légitime.
Motif : on sait bien que les deux conditions 1) et 2) ne suffisent pas (on aurait deux points $M'$ possibles).
Avec l'ajout des "aiguilles de la montre", elles sont suffisantes.
La condition 3) permet-elle de palier à cela ?
Remarque : on peut traduire 2) en terme de triangles "égaux" (je préfère "isométriques") et 3) en terme de triangles semblables.
Merci de vos remarques.
Un petit exercice de style m'encourage à créer ce fil.
Je ne considère que les angles géométriques (ou secteurs angulaires).
J'ai le droit aux angles saillants, notés avec le chapeau à l'endroit $\widehat{\quad}$.
Je ne souhaite pas parler d'orientation du plan (pas de "flèche", ni d'aiguilles de montre).
Je ne souhaite pas non plus parler de mesure (Edit )
La définition suivante vous semble-t-elle correcte ?
Définition :
On considère trois points distincts $O$, $A$, $B$ tels que $OA=OB$.
Soit $M$ un point du plan distincts de $O$.
On dit que $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $B$ lorsque les trois conditions suivantes sont réunies :
1) $OM'=OM$
2) $\widehat{AOM}=\widehat{BOM'}$
3) $\widehat{AOB}=\widehat{MOM'}$
Je n'encourage pas à suivre cela dans le secondaire.
J'ai failli poster dans "Pédagogie" mais cela pourrait créer des ambiguïtés.
"Géométrie" semble alors légitime.
Motif : on sait bien que les deux conditions 1) et 2) ne suffisent pas (on aurait deux points $M'$ possibles).
Avec l'ajout des "aiguilles de la montre", elles sont suffisantes.
La condition 3) permet-elle de palier à cela ?
Remarque : on peut traduire 2) en terme de triangles "égaux" (je préfère "isométriques") et 3) en terme de triangles semblables.
Merci de vos remarques.
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Réponses
Autrefois dans un autre siècle, on disposait de cette construction du point $M'=r(M)$ où on n"avait même pas besoin de savoir ce qu'était un angle ou d'orienter quoique ce soit !
Amicalement.
[small]p[/small]appus
Décomposition en produit de réflexions :-)
En 5 cercles romains. L'idée est de construire les quadrilatères isométriques BOAM et COBN .
C $\neq$ A est le point tel que les arcs BA et BC soient isométriques.
IV est centré en B et de rayon |AM| .
V est centré en C et de rayon |BM| .
Pas de décomposition en symétries axiales.
Il y a un problème dans ta définition, le cas particulier suivant ne colle pas (voir le schéma).
En effet, c'est fâcheux.
Le sens de la rotation?
Cela me rappelle quelques souvenirs du film japonais: L'empire des sens.
Amicalement
[small]p[/small]appus
En fait on peut se passer d'orientation quand même.
Il n'y a que deux cas (qui se résument en un seul) où la définition proposée ne fonctionne pas.
C'est lorsque $M \in (OB)$ (les deux cas étant "du même côté que $B$ ou de l'autre côté" par rapport à $O$).
On peut alors ajouter la condition pour que l'on choisisse le bon $M'$, à savoir $M' \notin (OA)$.
Sauf erreur.
Je réitère l'objectif empirique : si deux personnes se trouvent de part et d'autre du plan transparent, la construction fournit le même point $M'$. Sans même parler d'orientation et en utilisant les angles géométriques quand même.
NB : ne me demandez pas si cela a un intérêt...
Comme le dit @[small]p[/small]appus, sans même les angles, on peut définir la rotation souhaitée (centre O, A vers en composant deux symétries axiales. On ne fait appel qu'à une petite médiatrice, rien de bien méchant.
Je ne sais pas trop si la décomposition d'une isométrie en produit de symétries hyperplanes est encore dans nos programmes.
Il est sans doute fort probable que cette décomposition se soit fait la malle elle aussi.
De ce point de vue, la construction de Soland est préférable à la mienne.
Elle a cependant un petit inconvénient, mineur pour des collégiens qui ne s'apercevront de rien.
Les cercles $IV$ et $V$ se coupent en deux points et il faut choisir le bon, en l'occurrence celui de ces deux points qui se trouve sur le cercle $II$. ll y a une part de géométrie contemplative dans cette construction qu'on ne retrouve pas dans la mienne!
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'ai l'impression d'en perdre le "sens".
Mais, bien entendu, il s'agit certainement d'un manque de pratique de ma part.
A partir de là, on dispose du repère affine (O,A,B) du plan, et de son image (O,B,C), et tout devient facile : les distance de l'image de M à O, B et C sont les distances de M à O, A et B (3 coups de compas).
Amicalement
[small]p[/small]appus
— de centre O, de rayon OM ;
— de centre B, de rayon AM ;
— de centre C, de rayon CM ;
appartiennent rarement au même faisceau.
Donc la construction fournit une image unique au point M.
Reste le cas du demi-tour…
La construction de soland utilise toutefois la décomposition de la rotation en produit de deux symétries pour obtenir l'image C du point B.