produit scalaire sur un espace vectoriel fini

ramos · March 2018

Bonjour à tous, quelqu'un saurait me dire si l'on peut définir un produit scalaire sur l'espace vectoriel F₅ x F₅ ? ( F₅ étant le corps Z/5Z )

GaBuZoMeu · March 2018

Ça n'a pas de sens dans la mesure où il n'y a pas de notion de positivité sur $\mathbf F_5$.
Pas de problème pour définir une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur $(\mathbf F_5)^n$. Il y a deux classes de telles formes, suivant la classe du discriminant modulo les carrés.

ramos · March 2018

Merci pour la réponse. En effet, je n'avais plus en tête les conditions satisfaisant la définition du produit scalaire !

Je considère plutôt l'espace vectoriel $\mathbb F_7 \times \mathbb F_7$ et je prends alors la forme bilinéaire symétrique non dégénérée et définie
$\Phi(X,Y)=\,<(x_1,x_2),\ (y_1,y_2)>\, = x_1y_1 + x_2y_2$ où $X=(x_1,x_2)$ et $Y=(y_1,y_2)$ sont des vecteurs de $\mathbb F_7 \times \mathbb F_7$.

"Cette" forme n'est pas définie sur $\mathbb F_5$ puisque $<(1,2),(1,2)>\,=1+4 =5=0$ mais elle l'est sur $\mathbb F_7$ : je l'ai vérifié en construisant la table des sommes de 2 carrés modulo 7 à l'aide d'un tableur ...

Ma question : $A$ étant un vecteur de $\mathbb F_7 \times \mathbb F_7$, peut-on appeler $\ker\big(\Phi(A,.)\big)$ l'orthogonal de $A$ ?

GaBuZoMeu · March 2018

Sur $(\mathbf F_5) ^2$ tu as aussi une forme bilinéaire symétrique (ou disons plutôt une forme quadratique, ce qui revient au même) définie (anisotrope) : la forme quadratique $(x_1,x_2)\mapsto x_1^2+2x_2^2$. C'est un représentant de l'autre classe de formes quadratiques (son discriminant est un non-carré).
Quant à parler de l'orthogonal, tu peux le faire pour n'importe quelle forme bilinéaire symétrique. On a les propriétés habituelles concernant la dimension pour n'importe quelle forme non dégénérée (définie ou pas).

ramos · March 2018

Merci pour toutes ces explications; par ailleurs je viens de lire quelques passages dans des polys universitaires concernant ces questions et vous arrivez aux mêmes conclusions.
J'ai appris avec tristesse qu'on ne peut pas définir de relation d'ordre dans un corps fini, donc pour l'affaire du produit scalaire, c'est cuit !

Mais peut-on dénir une distance dans $(\mathbb F_7)^2$ ?

marco · March 2018

Bonsoir,

On peut définir une distance sur tout ensemble $E$, en posant $d(x,y)=0$ si $x=y$ et $d(x,y)=1$ si $x \neq y$.
$d$ vérifie alors bien l'inégalité triangulaire et la propriété: $\forall x, y \in E$, $d(x,y)=0$ si et seulement si $ x=y$.

GaBuZoMeu · March 2018

Qu'est-ce que tu cherches à faire, ramos ?

ramos · March 2018

Bonjour et merci pour votre question,
je veux "créer" un espace affine fini de dimension 2, à partir d'un des $\mathbb F_p$ puis étudier les points, droites et si on peut "coller" une distance étudier les objets $d(A,X)=r$, $A$ étant fixé et $X$ étant les points du lieu de l'ojet.

J'ai commencé par étudier les objets $\Phi(A-X,A-X)=r$, même si la forme quadratique associée à $\Phi$ ne permet pas définir une distance (à cause de l'inégalité triangulaire), les objets en question ont 7 ou 8 points, ils ont une intersection vide ou 1 ou 2 points.
J'ai envie d'appeler "cercles" ces bestioles... mais bon si j'avais une distance plus fini que celle de $\bf marco$ on pourrait peut-être avoir des "cercles" plus sympa...

GaBuZoMeu · March 2018

J'ai l'impression que tu cherches à réinventer des choses connues, mais que tu ne connais pas.
Précisément : le plan affine sur un corps fini, les coniques sur un corps fini.

ramos · March 2018

Merci pour l'info, je tente de trouver de la documentation sur cette affaire mais si vous connaissez des ouvrages (livres, articles, polys en PDF universitaires...) sur "Le plan affine sur un corps fini, les coniques sur un corps fini", votre aide sera appréciée .