Équations cartésiennes à rep. paramétrique

A.B.
A.B.
dans Géométrie
Bonjour
Je m'entraîne sur un serveur Wims à un exercice où il faut passer d'une droite dans l'espace définie par deux équations cartésiennes à une représentation paramétrique.
Sur le principe, je n'ai pas de problème : je calcule deux points A et B de la droite, j'en déduis les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et donc une représentation paramétrique en prenant un des deux points A ou B et ce vecteur.

En pratique, les équations données ne sont pas simples, c'est calculatoire, je me trompe souvent (je suis une bille en calcul) et surtout, les solutions données par Wims sont *beaucoup* plus simples que celles que je trouve.
Existerait-il une manière plus astucieuse que celle que je pratique (mal) ?

Merci d'avance,

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Il existe effectivement une technique rapide, utilisant le produit vectoriel de vecteurs normaux au plan. On lit les coordonnées dans les équations cartésiennes des deux plans, et trois calculs de déterminants 2x2 donnent le résultat : un vecteur directeur de l'intersection (ou le vecteur nul si les plans sont parallèles).

    Cordialement.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    On peut toujours résoudre le système des deux équations cartésiennes en calculant deux des coordonnées (à choisir correctement…) en fonction de la troisième.

    On obtient une première représentation paramétrique, et les autres s'en déduisent par changement affine du paramètre.
    Suivant la notion de « simplicité des équations » que l'on a en vue, on peut alors étudier quel changement de paramètre est susceptible d'améliorer la représentation paramétrique obtenue par le calcul brutal.
  • A.B.
    A.B.
    Merci des réponses.
    Nous n'avons pas encore vu ni le produit vectoriel, ni les déterminants donc je garde cette méthode sous le coude pour plus tard.
    La résolution des équations me semble effectivement plus rapide que la méthode que j'utilisais.
  • A.B.
    A.B.
    J'ai passé des heures sur ces exercices et je trouve des résultats systématiquement faux. Je ne dois pas comprendre quelque chose de très simple.
    Je mets ci-dessous un exemple de calcul faux (et probablement de raisonnement faux). Je vous serais reconnaissant de m'indiquer où est mon erreur.

    $\left \{
    \begin{array}{r c l c}
    -8x-17y-2z+73&=& 0& (1)\\
    14x+11y-4z-19&=&0&(2) \\
    \end{array}
    \right . $
    Je multiplie (1) par 2, (2) par -1, il vient
    $\left \{
    \begin{array}{r c l }
    -8x-17y-2z+73&=& 0\\
    -16x -34y -4z+146 -14x-11y+4z+19&=&0 \\
    \end{array}
    \right . $

    $\left \{
    \begin{array}{r c l }
    -8x-17y-2z+73&=& 0\\
    -30x +45y +165 &=&0 \\
    \end{array}
    \right . $

    On en déduit que $2x = 11 -4y$
    En reportant cette valeur dans (1), on a
    $-4(11-4y) -17y -2z+73 = 0$ soit $2z = 29-y$

    On pose $y=t$ et on obtient la représentation paramétrique
    $\left \{
    \begin{array}{r c l }
    x& =&\frac{11}{2} -2t \\
    y & = & t \\
    z & = & \frac{29}{2} -\frac{t}{2} \\
    \end{array}
    \right . $

    J'ai beau faire et refaire les calculs, je ne vois pas ce que j'ai faux.
    Pour info, la solution de Wims est
    $\left \{
    \begin{array}{r c l }
    x& =&3t -2t \\
    y & = & 5-2t \\
    z & = & 5t+2 \\
    \end{array}
    \right . $
    J'aimerais bien savoir comment il trouve ces valeurs si simples !
    Merci de vos éclairages
  • ev
    ev
    -34y - 11y = -45y et tu écris +45y.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • jean-éric
    jean-éric
    Bonjour,

    première remarque : le $x=3t-2t$ me semble suspect ! il s'agit de $x=3t-2$.

    seconde remarque : celle que tu donnes est aussi incorrecte on a $2x=3y+11$, si tu poses $y=t$ tu obtiens $x=....$ et $z=....$ et alors c'est juste...
    Comme il n'y a pas unicité de la représentation paramétrique... tu en obtiens une différente de celle de wims, ce qui ne pose aucun problème. Quant à la simplicité, elle provient sans doute du fait que celle de wims soit écrite avec des entiers... on peut alors normalement passer de l'une à l'autre via un changement de variable (affine) ad-hoc, ce qui ne sert à... rien

    Jean-éric.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Et tu as l'air de penser que $45=4\times 15$ ...
  • A.B.
    A.B.
    Merci des réponses. Je suis juste un gros nul en calcul. Quelques fois, j'ai vraiment l'impression d'avoir un trou dans le cerveau pour cette aptitude.
  • ev
    ev
    Il n'est pas trop tard pour s'y mettre.

    e.v.73528
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


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