Transformer quadrilatère en parallélogramme

Bonjour
Sommairement et en omettant les cas particuliers.
Si une inversion de pôle $O$ transforme $ABCD$ en un parallélogramme $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$, il est clair que les cercles $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ et $A^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$ ont le même rayon ainsi que les cercles $A^{\prime }B^{\prime }D^{\prime }$ et $B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$.
Or, le lieu des centres d'inversion transformant $2$ cercles en $2$ cercles de même rayon est la réunion des $2$ cercles d'inversion des $2$ cercles donnés (petit exercice).
$O$ est donc sur un des cercles d'inversion des cercles $ABC$ et $ACD$ et sur un des cercles d'inversion des cercles $ABD$ et $BCD$.
Mais il faut exclure les cas où $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$ est un quadrangle orthocentrique, auquel cas les $4$ cercles $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$, $A^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$, $A^{\prime }B^{\prime }D^{\prime }$ et $B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }$ ont le même rayon.

Si $A,B,C,D$ sont situés dans cet ordre sur un même cercle $\Gamma $, une inversion de pôle un point d'intersection du cercle orthogonal à $\Gamma $ en $A$ et $C$ et du cercle orthogonal à $\Gamma $ en $B$ et $D$ transforme $ABCD$ en un rectangle.

Amicalement. Poulbot

Bonjour Christoph
et merci!
Si $a,b,c,d$ sont les affixes de $A,B,C,D$ et $f$ une transformation circulaire de pôle $\Omega $ d'affixe $\omega $, on a $f:z\rightarrow \dfrac{\alpha z+\beta }{z-\omega }$ ou $f:z\rightarrow \dfrac{\alpha \overline{z}+\beta }{\overline{z}-\overline{\omega }}$.
So $f\left( a\right) +f\left( c\right) =f\left( b\right) +f\left( d\right) $ si et seulement si $\left( a+c-b-d\right) \omega ^{2}-2\left( ac-bd\right) \omega +ac\left( b+d\right) -bd\left( a+c\right) =0$.
Ainsi, il existe, en général, $2$ pôles d'inversion transformant $ABCD$ en un parallélogramme et, comme tu l'avais dit, les transformations circulaires qui transforment $ABCD$ en un parallélogramme sont celles de pôle un de ces $2$ points.
Amicalement. Poulbot