Trouver repère avec 3 points

Thomas25
Thomas25
dans Géométrie
Bonjour à tous,

Voici mon problème :
-On se place dans l'espace,
-Je dispose d'un repère C
-3 points connus X,Y,Z dans le repère C
-3 autres points connus U,V,W connus dans le repère C et avec des coordonnées connues dans un autre repère (D)
Je cherche à connaitre la position de l'origine du second repère (D), ainsi que son orientation.


Est ce que quelqu'un saurait m'aider sur ce sujet.

Merci, dans l'attente de vous lire.

Réponses

  • Zig
    Zig
    Bonjour,
    je désigne par $C$ et $D$ les deux repères, que je suppose tous les deux orthonormés directs... ainsi, la matrice de passage $M$ est une rotation (=orthogonale directe).
    $O$ et $O'$ désignant leurs origines respectives, on a $\Big(\overrightarrow{O'U}\Big)_{D}=\Big(\overrightarrow{O'O}\Big)_{D}+\Big(\overrightarrow{OU}\Big)_{D}=\overrightarrow{T}+M\Big(\overrightarrow{OU}\Big)_{C}$.
    De même, $\Big(\overrightarrow{O'V}\Big)_{D}=\overrightarrow{T}+M\Big(\overrightarrow{OV}\Big)_{C}$ et $\Big(\overrightarrow{O'W}\Big)_{D}=\overrightarrow{T}+M\Big(\overrightarrow{OW}\Big)_{C}$.
    On en déduit que $\Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{D}=M\Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{C}$ et $\Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{D}=M\Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{C}$.
    $M$ étant une matrice de rotation, elle conserve le produit vectoriel,
    et on a donc matriciellement :
    $M\Big[\Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{C} ; \Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{C} ; \Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{C}\wedge\Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{C}\Big]=\Big[\Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{D} ; \Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{D} ; \Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{D}\wedge\Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{D}\Big]$.
    On en déduit $M$, à condition bien sûr que les points $U,V,W$ ne soient pas alignés...
    Puis enfin $\overrightarrow{T}=\Big(\overrightarrow{O'V}\Big)_{D}-M\Big(\overrightarrow{OV}\Big)_{C}$
  • Thomas25
    Thomas25
    Bonjour,
    merci beaucoup pour cette réponse mais quand je calcule le déterminant de la matrice liée au repère C, pour l'inverser je trouve une valeur de déterminant énorme, de l'ordre de e**11.

    Est-ce normal ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Envoie tes valeurs numériques, on verra.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Thomas25
    Thomas25 
    Repère C                                              Repère D      
   X         Y          Z                                U            V            W   
1599,87    500       -430         <--Point 1-->       2146,409    -2184,515     -463,417
                        
2549,8      -0,8     -430,15      <--Point 2-->       2640,717    -1231,284     -461,111
                           
3499,79    400,09    -430,02      <--Point 3-->       2235,329     -283,982     -460,135
  • Zig
    Zig
    Si ce déterminant vous effraie vous pouvez calculer M après avoir divisé toutes vos coordonnées par une même valeur.. Par contre, conservez les coordonnées pou le vecteur T
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ça ne correspond pas du tout à ton premier message.
    En fait, $X,Y,Z$ sont les coordonnées dans le premier repère, $U,V,W$ les coordonnées dans le second, et tu disposes des deux jeux de coordonnées pour trois points ?
    Quelque chose sur lequel tu n'as pas non plus été clair : les repères sont orthonormés directs ?
  • Thomas25
    Thomas25
    Désolé, je pensais être clair dans mon premier message, oui c'est tout à fait ce que tu m'énonces dans ton message GaBuZoMeu.
    Les repères sont bien orthonormés directs. Et je cherche la position de l'origine de mon deuxième repère par rapport à mon premier.
  • Thomas25
    Thomas25
    Bonjour,

    Je reprend mon sujet je n'ai peux être pas été assez clair, je possède 3 points connu dans dans un premier repère. Ces 3 points sont aussi connu dans un autre repère, cependant je ne connais pas la position du deuxième repère dans le premier.

    Comment est ce que je fais pour déterminer les coordonnées ainsi que l'orientation de mon deuxième repère dans mon premier ?

    Merci,
    dans l'attente de vous lire.

    Thomas
  • Zig
    Zig
    Bonjour, j'ai donné une réponse à cette question.. En quoi ne vous convient-elle pas? Vous obtenez bien l'orientation par la matrice de rotation, et la translation que vous voulez...
  • Thomas25
    Thomas25
    En faite je n'avais pas bien compris à quoi correspondait la matrice de rotation M, mais je viens de comprendre qu'il y en a 3 une pour chaque rotation autour des axes.
  • Zig
    Zig
    En fait il n'y en a qu'une... la matrice de passage de votre première base ortonormée directe à votre seconde..
    Après vous pouvez choisir de la décomposer en plusieurs rotations successives, façon angles d'Euler ( gisement,site,roulis) comme on fait dans l'aéronautique par exemple..
  • Zig
    Zig
    J’obtiens pour M :

    -0,006163036 0,999979658 0,001643351
    -0,999979428 -0,006160096 -0,001788062
    -0,001777903 -0,001654338 0,999997051

    ce qui est à peu de chose près à une rotation de -90° autour de k pour passer de C à D.

    Et comme vecteur OO' dans C :
    3798,330516
    2632,079402
    33,61781492
  • Thomas25
    Thomas25
    Oui c'est tout à fait ça, avec mes erreur de palpage, j'arrive a des valeurs expérimentales proche de tes calculs maintenant il faut que j'arrive a moi faire les calculs correctement pour trouver ce que tu trouves.

    Voici mes valeurs mesurées : 2659.6 -3782.2 -41.6
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