Trouver repère avec 3 points
Bonjour à tous,
Voici mon problème :
-On se place dans l'espace,
-Je dispose d'un repère C
-3 points connus X,Y,Z dans le repère C
-3 autres points connus U,V,W connus dans le repère C et avec des coordonnées connues dans un autre repère (D)
Je cherche à connaitre la position de l'origine du second repère (D), ainsi que son orientation.
Est ce que quelqu'un saurait m'aider sur ce sujet.
Merci, dans l'attente de vous lire.
Voici mon problème :
-On se place dans l'espace,
-Je dispose d'un repère C
-3 points connus X,Y,Z dans le repère C
-3 autres points connus U,V,W connus dans le repère C et avec des coordonnées connues dans un autre repère (D)
Je cherche à connaitre la position de l'origine du second repère (D), ainsi que son orientation.
Est ce que quelqu'un saurait m'aider sur ce sujet.
Merci, dans l'attente de vous lire.
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Réponses
je désigne par $C$ et $D$ les deux repères, que je suppose tous les deux orthonormés directs... ainsi, la matrice de passage $M$ est une rotation (=orthogonale directe).
$O$ et $O'$ désignant leurs origines respectives, on a $\Big(\overrightarrow{O'U}\Big)_{D}=\Big(\overrightarrow{O'O}\Big)_{D}+\Big(\overrightarrow{OU}\Big)_{D}=\overrightarrow{T}+M\Big(\overrightarrow{OU}\Big)_{C}$.
De même, $\Big(\overrightarrow{O'V}\Big)_{D}=\overrightarrow{T}+M\Big(\overrightarrow{OV}\Big)_{C}$ et $\Big(\overrightarrow{O'W}\Big)_{D}=\overrightarrow{T}+M\Big(\overrightarrow{OW}\Big)_{C}$.
On en déduit que $\Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{D}=M\Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{C}$ et $\Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{D}=M\Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{C}$.
$M$ étant une matrice de rotation, elle conserve le produit vectoriel,
et on a donc matriciellement :
$M\Big[\Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{C} ; \Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{C} ; \Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{C}\wedge\Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{C}\Big]=\Big[\Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{D} ; \Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{D} ; \Big(\overrightarrow{UV}\Big)_{D}\wedge\Big(\overrightarrow{UW}\Big)_{D}\Big]$.
On en déduit $M$, à condition bien sûr que les points $U,V,W$ ne soient pas alignés...
Puis enfin $\overrightarrow{T}=\Big(\overrightarrow{O'V}\Big)_{D}-M\Big(\overrightarrow{OV}\Big)_{C}$
merci beaucoup pour cette réponse mais quand je calcule le déterminant de la matrice liée au repère C, pour l'inverser je trouve une valeur de déterminant énorme, de l'ordre de e**11.
Est-ce normal ?
Envoie tes valeurs numériques, on verra.
Cordialement,
Rescassol
En fait, $X,Y,Z$ sont les coordonnées dans le premier repère, $U,V,W$ les coordonnées dans le second, et tu disposes des deux jeux de coordonnées pour trois points ?
Quelque chose sur lequel tu n'as pas non plus été clair : les repères sont orthonormés directs ?
Les repères sont bien orthonormés directs. Et je cherche la position de l'origine de mon deuxième repère par rapport à mon premier.
Je reprend mon sujet je n'ai peux être pas été assez clair, je possède 3 points connu dans dans un premier repère. Ces 3 points sont aussi connu dans un autre repère, cependant je ne connais pas la position du deuxième repère dans le premier.
Comment est ce que je fais pour déterminer les coordonnées ainsi que l'orientation de mon deuxième repère dans mon premier ?
Merci,
dans l'attente de vous lire.
Thomas
Après vous pouvez choisir de la décomposer en plusieurs rotations successives, façon angles d'Euler ( gisement,site,roulis) comme on fait dans l'aéronautique par exemple..
-0,006163036 0,999979658 0,001643351
-0,999979428 -0,006160096 -0,001788062
-0,001777903 -0,001654338 0,999997051
ce qui est à peu de chose près à une rotation de -90° autour de k pour passer de C à D.
Et comme vecteur OO' dans C :
3798,330516
2632,079402
33,61781492
Voici mes valeurs mesurées : 2659.6 -3782.2 -41.6