Espace affine

Bonjour.

Vu ta deuxième question, je me demande : Quelle est ta définition de "espace affine" ?

Cordialement.

Le problème est que l'espace affine est muni directement d'une structure d'espace vectoriel par sa définition (*). Donc dire "qui n'est pas un espace vectoriel" pose un peu problème.

Cordialement.

(*) d'une infinité de façons si le corps de base est infini. [Edit : merci Vincent de m'avoir poussé à rectifier]

Oui, l'espace vectoriel trivial, de cardinal $1$.

Tout espace vectoriel non nul sur un corps $K$ contient une droite vectorielle qui a même cardinal que $K$ ; il y a donc une condition sur le cardinal de ton ensemble $\mathcal E$.

Bruno

Ah excuse moi, je n'avais pas du tout saisi ;-)

Je dis simplement que tout ensemble infini peut être muni d'au moins une structure d'espace vectoriel sur $\mathbb Q$ ; mais que l'ensemble $\mathcal E$ doit avoir au moins la puissance du continu pour avoir une structure de $\mathbb R$-espace vectoriel. Cette condition est suffisante par ailleurs.

Bruno

J'étais en train de répondre, mais Poirot a été plus vire que moi. Concernant les ensembles finis, tu peux toujours te brosser pour trouver un espace vectoriel sur $\mathbb F_2$ de cardinal $6$ car tout espace fini sur ce corps a pour cardinal une puissance de $2$.

Bruno

On peut trouver dans "algèbre géométrique" d'Emil Artin des démonstrations des résultats $\mathbf T_1$, $\mathbf T_2$ suivants.

Soit $P$ un ensemble, et $D$ un ensemble de parties de $P$ . Deux éléments $d,d'$ de $D$ sont dits parallèles lorsque $d=d'$ ou bien $d\cap d'=\emptyset$.
On suppose que
1°) Pour tous $a,b\in P$, il existe un unique $d\in D$ tel que $a\in d$ et $b \in d$
2°) Pour tout $d\in D$ et tout $x\in P$, il existe un unque $d'\in D$ tel que $x\in d'$ et $d'$ est parallèle à $d$.
3°) il existe $3$ éléments distincts $a,b,c\in P$ tels qu'il n'existe aucun $d\in D$ tel que $a\in D,b\in D$ et $c\in D$.

-On dit qu'une application $f:P\to P$ est une translation si elle est égale à l'identité, ou si elle n'admet aucun point fixe et
si pour tous $x,y\in P$ distincts, pour tous $d,d'\in D$, si $d$ est (l'unique) $d\in D$ contenant $x$ et $y$ et $d'$ l'unique élément de $D$ parallèle à $d$ et contenant $f(x)$ alors $f(y)\in d'$.

$\mathbf T_1 \bf{)}$. L'ensemble $G$ des translations est un groupe pour la composition des applications. De plus pour tous
$x,y\in P$, il existe au plus une translation $f$ telle que $f(x)=y$.
$\mathbf T_2 \bf{)}$ Si de plus l'axiome 4°) ci-dessous est satisfait, alors $G$ est un groupe abélien agissant transitivement sur $P$, et il existe un corps $K$ et une structure de $K$-espace vectoriel de dimension 2 sur $G$.

Autrement dit $P$ est un espace affine sur $G$ au sens habituel (bourbakiste). On peut vérifier que les éléments de $D$ sont les droites affines de $P$ pour cette structure.



4°) (Propriété de Desargues)
Pour tous $d_1,d_2,d_3$ distincts dans $D$, si $d_1,d_2,d_3$ sont parallèles ou ayant tous les $3$ un point en commun, alors pour tous $(p_1,p_2,p_3),(q_1,q_2,q_3)\in d_1 \times d_2 \times d_3$ (distincts de l'élément commun aux $d_i$ s'ils se rencontrent), si $(p_1p_2)$ est parallèle à $(q_1q_2)$ et $(p_1p_3)$ est parallèle à $(q_1q_3)$ alors $(p_2p_3)$ est parallèle à $(q_2q_3)$ (la notation $(uv)$ désignant l'unique élément de $D$ passant par $u$ et $v$, cf axiome 1).

Juste GaBuZoMeu :-S, mais j'ai eu de la chance dans mon oubli.

Merci

Et $\mathbb F_5$, n'a-t-il pas moins de 6 éléments ?
Alain X:-(

AD : (tu), je n'ai envisagé que les corps dont le cardinal divisait le cardinal de l'ensemble.

Bruno

De rien (en ce qui me concerne) :-D.

Bruno