Un petit jeu de saute-mouton
dans Géométrie
Bonjour,
on considère trois moutons A,B,C (ie trois points distincts du plan) qui jouent à saute-mouton de la manière suivante : A saute par-dessus B, B par dessus C et C par dessus A, et ainsi de suite jusqu'à la fin des temps. Après un saut, un mouton se retrouve dans la position symétrique par rapport à celui au-dessus duquel il saute (ie symétrie centrale).
A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur leurs positions initiales peut-on garantir que les 3 moutons vont rester dans une partie bornée du champ (ie du plan) ?
on considère trois moutons A,B,C (ie trois points distincts du plan) qui jouent à saute-mouton de la manière suivante : A saute par-dessus B, B par dessus C et C par dessus A, et ainsi de suite jusqu'à la fin des temps. Après un saut, un mouton se retrouve dans la position symétrique par rapport à celui au-dessus duquel il saute (ie symétrie centrale).
A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur leurs positions initiales peut-on garantir que les 3 moutons vont rester dans une partie bornée du champ (ie du plan) ?
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Réponses
(en d'autres termes, c'est de la "fausse" géométrie plane.)
La seule difficulté de cet exercice est la formation de cette matrice de taille $3$ et de voir le rapport de la question demandée avec sa diagonalisation.
Bien sûr la très grande majorité des taupins diagonalisera cette matrice sans problème mais combien auront été capables de la former puis de résoudre le problème demandé, certainement beaucoup beaucoup moins!
Amicalement
[small]p[/small]appus
pourquoi tu nous parles des taupins ?
Simplement parce que ce problème est tout à fait dans leurs cordes et pourrait être posé à l'occasion de l'oral d'un grand concours.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Formule de démarrage : $a_{n+1}=2b_{n}-a_{n}, b_{n+1}=2c_{n}-b_{n}, c_{n+1}=2a_{n+1}-c_{n}$.
Il faut bien observer que quand le dernier saute par-dessus le premier, celui-ci a bougé.
Il en résulte : $a_{n+1}=-a_{n}+2b_{n}, b_{n+1}=- b_{n}+2c_{n}, c_{n+1}=-2a_{n}+4b_{n}-c_{n}$.
D'où la matrice. Comme il arrive souvent, elle a $1$ pour valeur propre, et elle se diagonalise donc facilement, même sans aide électronique.
Bonne journée.
Fr. Ch.
La difficulté de ce problème est de passer de sa formulation géométrique à sa formulation algébrique comme Chaurien vient de si bien le faire.
Quant à la formulation géométrique de la solution en termes de barycentres de GaBuZoMeu, je me demande si nos braves taupins savent encore ce qu'est un barycentre! Leur a-t-on appris la notion d'espace affine, je l'espère mais j'en doute!
Amicalement
[small]p[/small]appus
C'est le nombre de moutons qui participent à cette chaîne de saute-moutons.
Bon essentiellement, ça change juste la matrice "compagnonoïde" dont on étudie la dynamique.
$T_n = - I_n + 2 \cdot C_n$
avec $C_n$ la matrice compagnon du polynôme
$P_n = X^n - 2X +1 = X \cdot (X^{n-1} - 1) - X-1$.
On peut le factoriser par $X-1$, et il reste : $P_n = (X-1) \cdot (X^{n-1} + X^{n-2} + \dots + X^2 + X - 1)$.
Les vp de nos moutons sont donc : $2 \times (\text{racines de } P_n ) - 1$.
(J'avoue ne pas savoir conclure : combien de ces vp sont $|\lambda|<1$...)
Il est vrai que j'ai quitté le monde taupinal, il y a longtemps, trop longtemps et je suis sans doute déconnecté de la réalité.
La partie géométrique de cet exercice n'est difficile que parce que la géométrie a disparu.
Je ne dirai rien du dévissage de cette matrice qui me semble standard mais évidemment il y aura du déchet à ce niveau.
Une fois le dévissage correctement achevé, il reste à l'utiliser en vue de résoudre la question demandée, là aussi il y aura pas mal de déchet.
Enfin formuler le résultat obtenu de façon géométrique à la manière de GaBuZoMeu n'est pas si évident non plus.
Bref c'est un exercice intéressant pour départager les candidats.
J'aime bien la généralisation de Marsup!
Amicalement
[small]p[/small]appus
déterminer une base propre avec des coefficients pas trop laids pour réaliser le produit matriciel lié au changement de base mettrait plus d'une personne à l'amende en temps limité. Moi le premier.
Ceci dit, ce n'est pas l'intérêt de cet exercice, on est d'accord.
Je n'ai pas encore réfléchi à la généralisation à plus de 3 moutons mais c'est une bonne idée de s'y pencher.
Je ne pense pas qu'on doive exhiber une base de diagonalisation sauf si l'examinateur le demande expressément.
On calcule le polynôme caractéristique puis ses trois racines qui sont distinctes deux à deux.
Déjà on sait que la matrice est diagonalisable.
Une seule racine est en module strictement inférieur à $1$ et seul le calcul de son sous-espace propre importe. Ce n'est pas la mer à boire.
La généralisation de Marsup me semble plus intéressante car il y a plus de valeurs propres dont il faut savoir celles qui sont situées à l'intérieur du cercle unité.
Amicalement
[small]p[/small]appus