Hyper-cube à n dimensions

Bonjour,

Le courant se divise en $\displaystyle n \geq 1$ courants au premier noeud, puis en $\displaystyle n-1$ aux seconds noeuds... et d'une diagonale à l'autre il traverse $n$ résistances... on a donc $\displaystyle R(n) = 2 \sum_{k=1}^{E(n/2)} \prod_{p=0}^{k-1} {1 \over n-p} + \prod_{p=0}^{E(n/2)} {1 \over n-p}$ pour $n$ impair et $\displaystyle R(n) = 2 \sum_{k=1}^{E(n/2)} \prod_{p=0}^{k-1} {1 \over n-p} $ pour $n$ pair avec $E$ la partie entière. Le coefficient $2$ dans la relation provient de la symétrie évidente quand on échange les noeuds d'entrée et de sortie du courant.

Exemples :
Pour $\displaystyle n=1$, on a $\displaystyle R(1) = 1$ puisque le courant traverse une résistance de $1$ ohm.
Pour $\displaystyle n=2$, on a $\displaystyle R(2) = 2 {1 \over 2} = 1$ puisque le courant se divise en deux et traverse $2$ résistance en série (et donc de $2$ ohms).
Pour $\displaystyle n=3$, on a $\displaystyle R(3)=2 {1 \over 3} + {1 \over 3} {1 \over 2} = {5 \over 6}$...
Pour $\displaystyle n=4$, on a $\displaystyle R(4) = 2({1 \over 4} + {1\over 4} {1 \over 3}) = {2 \over 3}$...
Pour $\displaystyle n=5$, on a $\displaystyle R(5) = 2({1 \over 5} + {1\over 5} {1 \over 4}) + {1\over 5} {1 \over 4} {1 \over 3} = {31 \over 60}$...
Non ?

Je crois que tu as oublié de regarder la chose suivante :

Tu dis, et tu as raison :
Le courant se subdivise selon $n-k+1$ fils au $k$ème noeud,

Mais tu oublies de dire que le courant se rassemble en même temps à raison de $k$ fils arrivant par noeud au $k$ème noeud.

C'est là qu'est l'os !

Je m'efforce de suivre la solution de YvesM.

Je note $\{0;1\}^n$ l'hypercube considéré, et je suppose que le noeud de référence est l'origine $(0,0,\ldots,0)$.

Je dis qu'un noeud est de niveau $k \in \{0,1,\dots,n\}$ si la somme de ses coordonnées est $k$.

Notons :
$I$ l'intensité émise depuis l'origine, et
$I_{k}$ l'intensité à travers les résistances entre les niveaux $k$ et $k+1$.

(Le courant qui transite via les noeuds de niveau $k$ est conservé, et vaut toujours $I$.)

Les noeuds de niveau $k$ sont tous, depuis l'origine, au même potentiel $U_k$, pour une résistance équivalente $R_k = \frac{U_k}{I}$.

On cherche $U_n,R_n$, et on a $U_0,R_0 = 0$.

Un noeud de niveau $k$ a $n$ voisins :
$k$ de niveau $k-1$ et
$n-k$ de niveau $k+1$

Chaque noeud de niveau $k$ reçoit du courant de $k$ noeuds de niveau $k-1$.
Le courant qui le traverse est $k\times I_{k-1}$ celui au travers des résistances entre les niveaux $k-1$ et $k$.

Chaque noeud de niveau $k$ transmet son courant à $n-k$ noeuds de niveau $k+1$
Le courant par résistance $I_{k}$ entre les niveaux $k$ et $k+1$ est donc $\frac{k}{n-k}\times I_{k}$ (celui au travers des résistances entre les niveaux $k-1$ et $k$).

Ainsi (loi d'Ohm) :
$$U_{k+1}-U_{k} = R \cdot I_{k+1} = R \cdot \frac{k}{n-k} \cdot I_{k} = \frac{k}{n-k} \cdot (U_{k}-U_{k-1}).$$

On trouve :
$$U_{k+1}-U_{k} =
\frac{k!}{\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!}} \cdot
\underbrace{
(U_1 - U_0)}_{R \cdot I_0 = R \cdot \frac{I}{n}}
= \frac{k!(n-k-1)!}{n!} \cdot RI.
$$

On peut encore écrire :
$$U_{k+1}-U_{k} = \frac{1}{\binom{n}{k}} \cdot \frac{1}{n-k} \cdot RI.$$

On intègre :
$$U_{i} = \sum_{k=0}^{i-1} \big(U_{k+1}-U_{k}\big) = \sum_{k=0}^{i-1} \frac{1}{\binom{n}{k}} \cdot \frac{1}{n-k} \cdot RI.$$

Pour trouver $R_i$, on simplifie par $I$, et il reste ainsi :
$$R_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\binom{n}{k}} \cdot \frac{1}{n-k} \cdot R.$$

(en fait, il est plus simple de dénombrer directement les noeuds de niveau $k$, qui sont au nombre $\binom{n}{k}$, chacun traversé par $\frac{1}{\binom{n}{k}} \cdot I$, d'où $I_{k} = \frac{1}{n-k} \cdot \frac{1}{\binom{n}{k}} \cdot I$, mais bon...)

Bonjour,

Pas mal. Je ne savais pas définir les noeuds par niveau selon leurs coordonnées ; ni compter les noeuds voisins...