géométrie par symétrie littéraire

...soit dit en passant j'ai toujours eu peur de ces gens là (de l'OULIPO)
pour moi ces gens ont tout compris sur tout

l'angoisse totale!

Bonjour

trop jolie celle-ci réalisée par symétrie littéraire et sans aucun calcul matriciel

Soit $(ABC)$ respectivement $(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime})$ deux repères barycentriques du plan affine
pour un point quelconque $P$ du plan on notera
$(i_P:j_P:k_P)$ respectivement $(i^{\prime}_P:j^{\prime}_P:k^{\prime}_P)$ ses coordonnées barycentriques normalisées par rapport au repère $(ABC)$ respectivement $(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime})$
et selon

$(i_A:j_A:k_A)=(i^{\prime}_{A^{\prime}}:j^{\prime}_{A^{\prime}}:k^{\prime}_{A^{\prime}})=(1:0:0)$

$(i_B:j_B:k_B)=(i^{\prime}_{B^{\prime}}:j^{\prime}_{B^{\prime}}:k^{\prime}_{B^{\prime}})=(0:1:0)$

$(i_C:j_C:k_C)=(i^{\prime}_{C^{\prime}}:j^{\prime}_{C^{\prime}}:k^{\prime}_{C^{\prime}})=(0:0:1)$

et en posant(là encore obtenue pour un calcul de volume algébrique et donnant la valeur d'un déterminant dans le calcul matriciel)

$d=i_{A^{\prime}}j_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}+i_{B^{\prime}}j_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}+i_{C^{\prime}}j_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}-i_{A^{\prime}}j_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}j_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}j_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}$

alors pour ce point $P$ on obtient les six équations

$d.i^{\prime}_P=\left(j_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}-j_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}\right)i_P+\left(i_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}\right)j_P+\left(i_{B^{\prime}}j_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}j_{B^{\prime}}\right)k_P$

$d.j^{\prime}_P=\left(j_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}-j_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}\right)i_P+\left(i_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}\right)j_P+\left(i_{C^{\prime}}j_{A^{\prime}}-i_{A^{\prime}}j_{C^{\prime}}\right)k_P$

$d.k^{\prime}_P=\left(j_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}-j_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}\right)i_P+\left(i_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}-i_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}\right)j_P+\left(i_{A^{\prime}}j_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}j_{A^{\prime}}\right)k_P$

$d^{-1}.i_P=\left(j^{\prime}_Bk^{\prime}_C-j^{\prime}_Ck^{\prime}_B\right)i^{\prime}_P+\left(i^{\prime}_Ck^{\prime}_B-i^{\prime}_Bk^{\prime}_C\right)j^{\prime}_P+\left(i^{\prime}_Bj^{\prime}_C-i^{\prime}_Cj^{\prime}_B\right)k^{\prime}_P$

$d^{-1}.j_P=\left(j^{\prime}_Ck^{\prime}_A-j^{\prime}_Ak^{\prime}_C\right)i^{\prime}_P+\left(i^{\prime}_Ak^{\prime}_C-i^{\prime}_Ck^{\prime}_A\right)j^{\prime}_P+\left(i^{\prime}_Cj^{\prime}_A-i^{\prime}_Aj^{\prime}_C\right)k^{\prime}_P$

$d^{-1}.k_P=\left(j^{\prime}_Ak^{\prime}_B-j^{\prime}_Bk^{\prime}_A\right)i^{\prime}_P+\left(i^{\prime}_Bk^{\prime}_A-i^{\prime}_Ak^{\prime}_B\right)j^{\prime}_P+\left(i^{\prime}_Aj^{\prime}_B-i^{\prime}_Bj^{\prime}_A\right)k^{\prime}_P$

encore un truc joli(toujours avec leurs méthodes bizarres qui fonctionne sans aucun calcul)

Soient $ABC$ et $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ deux triangles homothétiques
en notant $H$ l'homothétie telle que
$A^{\prime}=H(A)$
$B^{\prime}=H(B)$
$C^{\prime}=H(C)$
et en notant
$S$ l'aire du triangle $ABC$
$S^{\prime}$ l'aire du triangle $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$

$a=BC$
$b=AC$
$c=AB$
$a^{\prime}=B^{\prime}C^{\prime}$
$b^{\prime}=A^{\prime}C^{\prime}$
$c^{\prime}=A^{\prime}B^{\prime}$

alors

on obtient les trois implications

$\left(n=2\right)\Rightarrow \left(\frac {S}{a^n}=\frac {S^{\prime}}{a^{\prime n}}\right)$
$\left(n=2\right)\Rightarrow \left(\frac {S}{b^n}=\frac {S^{\prime}}{b^{\prime n}}\right)$
$\left(n=2\right)\Rightarrow \left(\frac {S}{c^n}=\frac {S^{\prime}}{c^{\prime n}}\right)$

et lorsque $n\neq 2$ alors généralement
$\frac {S}{a^n}\neq\frac {S^{\prime}}{a^{\prime n}}$
$\frac {S}{b^n}\neq\frac {S^{\prime}}{b^{\prime n}}$
$\frac {S}{c^n}\neq\frac {S^{\prime}}{c^{\prime n}}$

...en ce qui concerne l'égalité(là o[u accent grave] je voulais aller
$\frac {4bc(a+b+c).sin^2(\alpha)}{abc.sin(\alpha)}=\frac {4b^{\prime}c^{\prime}(a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime}).sin^2(\alpha)}{a^{\prime}b^{\prime}c^{\prime} .sin(\alpha)}$

là comme $H$ est une homothétie ça ne posait pas de problème ... édit : ...non plus mais c'est plus moche qu'avec leurs méthodes

j'avais qu'à poser $r>0$
$a=r.a^{\prime}$
$b=r.b^{\prime}$
$c=r.c^{\prime}$
du coup
$\frac {4bc(a+b+c).sin^2(\alpha)}{abc.sin(\alpha)}=\frac {4r. b. r.c (ra +rb +rc ).sin^2(\alpha)}{r.a.r. b .r.c .sin(\alpha)}$
$\frac {4bc(a+b+c).sin^2(\alpha)}{abc.sin(\alpha)}=\frac {4r^3. b. c (a +b +c ).sin^2(\alpha)}{r^3.a. b .c .sin(\alpha)}$

et c'était ok aussi par calcul