Arcs paramétrés non équivalents :
dans Géométrie
Bonjour,
Je cherche à savoir pourquoi les arcs suivants ne sont pas équivalents
a) $f : t \in [0,1] \mapsto (t,t)$ et $g : t \in [-1,1] \mapsto (1-|t|,1-|t|)$
b) $f : t \in \mathbb{R} \mapsto (t,0,0)$ et $g : t \in \mathbb{R} \mapsto (t^3,0,0)$
c) $f : t \in [0,\pi] \mapsto (\cos t, \sin t)$ et $g : t \in [-1,1] \mapsto (t,\sqrt{1-t^2})$
Pour a) c'est évident car $f$ est injecf et $g$ ne l'est pas.
Pour b et c je sais montrer qu'ils ne sont pas équivalents, mais je veux savoir qu'est ce qui se passe. Les deux arcs $f$ et $g$ sont injctifs dans les deux cas.
En a) il y a) un problème de dérivabilité de la réciproque en $(0,0,0)$ pour $f$ et en b) le même problème en $+ - 1$ pour $g$.
Je veux savoir qu'est ce qui se passe, pourquoi ce problème de dérivabilité fait que les arcs ne sont pas équivalents (pourtant le changement vitesse de parcours d'un arc est permis par les difféomorphismes)
Merci d'avance.
Je cherche à savoir pourquoi les arcs suivants ne sont pas équivalents
a) $f : t \in [0,1] \mapsto (t,t)$ et $g : t \in [-1,1] \mapsto (1-|t|,1-|t|)$
b) $f : t \in \mathbb{R} \mapsto (t,0,0)$ et $g : t \in \mathbb{R} \mapsto (t^3,0,0)$
c) $f : t \in [0,\pi] \mapsto (\cos t, \sin t)$ et $g : t \in [-1,1] \mapsto (t,\sqrt{1-t^2})$
Pour a) c'est évident car $f$ est injecf et $g$ ne l'est pas.
Pour b et c je sais montrer qu'ils ne sont pas équivalents, mais je veux savoir qu'est ce qui se passe. Les deux arcs $f$ et $g$ sont injctifs dans les deux cas.
En a) il y a) un problème de dérivabilité de la réciproque en $(0,0,0)$ pour $f$ et en b) le même problème en $+ - 1$ pour $g$.
Je veux savoir qu'est ce qui se passe, pourquoi ce problème de dérivabilité fait que les arcs ne sont pas équivalents (pourtant le changement vitesse de parcours d'un arc est permis par les difféomorphismes)
Merci d'avance.
Réponses
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Bonjour !
J'ai toujours appris à mentionner une "classe de dérivabilité" dans la mention arcs équivalents.
Il y a des arcs $C^k$ équivalents qui exigent une fonction de "changement de paramètre" de classe $C^k$, la dérivée première ne prenant jamais la valeur 0 (sinon tu introduis un point stationnaire sur l'un des arcs...).
C'est ce qui se passe dans le cas b: il y a un point stationnaire pour $g$, pas pour $f$. -
et pourquoi le fait que l'un a un point stationnaire et le même point n'est pas stationnaire pour l'autre les rend non équivalents ?
Pour moi, intuitivement, les arcs paramétrés équivalents ce sont les arcs paramétrés qui parcourt le support de la même "manière géométrique" i.e. avec des vitesses différentes mais sans changement de direction, sans rebroussement, etc. Un point stationnaire ou non, comment ça change l "objet géométrique" après tout, la vitesse s'annulle pour l'un mais pas pour l'autre (et alors ?) ! -
mathematico a écrit:Pour moi, intuitivement, les arcs paramétrés équivalents ce sont […]
L'intuition peut aider à comprendre la formulation d'une définition, mais ne peut pas remplacer cette formulation.
La « simple équivalence » des arcs n'est pas définie, seule la \(C^k\)-équivalence l'est.
La définition exige alors que le changement de paramètre soit un \(C^k\)-difféomorphisme, ce qui interdit à sa dérivée de s'annuler. -
d'accord, merci.
Une autre question : est-ce qu'un arc régulier de classe $C^1$ est toujours un homéomrphisme entre le domaine de définition de l' arc et son image ?
Si c'est un arc $f$ de $I \subset \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, on peut dire que sa dérivée ne s'annulle pas, elle garde un signe constant puisque c'est continue d'où $f$ est bijectif entre $I$ et $f(I)$ et on a aussi $f^-1$ continue.
Mais les arcs en général, sont à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ donc que dire dans ce cas ? -
Est-ce qu'un arc régulier est forcément injectif ? Et même s'il est injectif, ce n'est pas forcément un homéomorphisme sur son image.
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est-ce que tu as un contre exemple d'un arc injectif régulier et ne réalise pas un homéomorphisme entre le domaine et l'image ?
Si ce n'est pas injectif, le contre exemple peut être $t \in [0,2\pi] \mapsto (cos2t, sin2t)$ c'est régulier mais non injectif et donc il ne s'agit pas d'un homéomorpisme. -
Que veut dire ta réponse "Oui, en général" ? Tu affirmes qu'un arc régulier est forcément injectif ? Quelle est ta définition d'arc paramétré régulier de classe $C^1$ ?
Et je le répète, un arc régulier injectif n'est pas forcément un homéomorphisme sur son image. Je te laisse imaginer un contre-exemple en pensant à un 8. -
D'accord, donc comment je peux dire qu'un paramétrage $\sigma$ entre un intervalle de $\mathbb{R}$ dont l'image $C$ est une figure de 8 avec le noeud en (0,0) par exepemple n'est pas un homéomorphisme. Est ce que je pux dire : si je prend un voisinage ouvert (pour la topologie usuelle de $\mathbb{R}^2$) $V$ de (0,0), on a $C \cap V$ donne un ouvert (pour la topologie induite sur la courbe $C$) qui a, approximativement l'allure d'un $"X"$ si on zoom", on ne peut pas trouver un intervalle ouvert de $I$ dont l'image est ce $"X"$, d'où il ne s'agit pas d'un homéomorphisme ?
-
Non, tu n'as pas compris mon allusion au 8. Alors j'explicite : considère l'arc régulier injectif
$$t\longmapsto\left (\frac{t}{1+t^4},\frac{t^3}{1+t^4}\right)$$
où $t$ parcourt $\mathbb R$. -
Oui voilà https://www.desmos.com/calculator/gwrhjtud91
Mon explication consiste à dire si on prend l'intersection d'une boule ouverte $V$ de $\mathbb{R}^2$ avec la courbe au voisinage de $(0,0)$ on va avoir un ouvert pour la topologie induite sur cette courbe. Cependant, on ne peut pas trouver un ouvert $U$ de $\mathbb{R}$ tel que $\sigma(U)=V \cap C$ donc $\sigma$ n'est pas un homéomorphisme entre $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle et l'image $C$ de l'arc munie de la topologie induite par celle de $\mathbb{R}^2$ sur $C$.
Remarque : en $(0,0)$ c'est pas vraiment un X puisque la courbe quand $t \to \infty$ n'atteint pas le $0$ une deuxième fois, mais ça ressemble à un X.
Merci d'avance -
Il me semble que l'on a \(\sigma(U)=V\cap C\) avec un ouvert de \(\R\) de la forme:
\}-\infty,-A\mathclose{[}\cup\mathopen{]}-a,a\mathclose{[}\cup\mathopen{]}A,+\infty\mathclose{[}\quad(0<a<A)\]. -
Bon, je ne comprends pas donc où est le problème :
Théorème des caractérisations des homémorphismes entre espaces topologiques : $f : (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)$ est un homéomorphisme si et suelemnt si pour tout ouvert $U$ de $(X, \tau_1)$ on peut trouver un ouvert $V$ de $(Y, \tau_2)$ tel que $f^{-1} (V) = U$ et pour tout ouvet $H$ de $(Y, \tau_2)$ on peut trouver un ouvert $G$ de $ (X, \tau_1)$ tel que $f(G) = H$
Je cherche l'ensemble ouvert qui ne vérifie pas ce théorème. avec $\sigma : (\mathbb{R}, \tau_u) \to (C, \tau_C)$ -
L'image de l'ouvert \(]-1,1[\) de \(\R\) par \(\sigma\) n'est pas un ouvert de la courbe : le paramétrage est continu, mais pas l'application réciproque.
-
Du coup, un autre exemple pour vérifier ma compréhension, https://www.desmos.com/calculator/dpfxnlnon3
Qui est $ \sigma : t \in ]-1,+\infty[ \to (\frac{3t}{1+t^3},\frac{3t^2}{1+t^3}) $ en $(0,0)$ il n y a pas de problème et je peux écrire $V \cap C$ comme l'image d'une union d'ouverts de $\mathbb{R}$ par $\sigma$. Par contre l'image de l'ouvert, $]-1,0[ \cup ]1,2[$ n'est pas un ouvert de $C$. C'est ça ?
Edit : oui $]-1,0[ \cup ]1,2[$ ,je me suis trompée entre le domaine et l'image. -
Il est curieux de définir le paramétrage sur \(]-1,+\infty[\) et de parler de l'image de \(]-\infty,0[\).
Tout simplement, \(\sigma(]-1,1[)\) n'est pas un ouvert de \(C\). -
Et comment on choisit ces intervalles ouverts dont l'image n'est pas un ouvert de $C$, est-ce que ça a une relation avec le fait que la réciprique n'est pas continue en $(0,0)$ ou plutôt comment ça a une relation?
-
Ben oui : dire que la réciproque \(\tau\) de \(\sigma\) est discontinue, c'est dire qu'il existe un ouvert \(U\) de \(\R\) tel que \(\tau^{-1}(U)\), c'est-à-dire \(\sigma(U)\), ne soit pas un ouvert de \(C\).
Comme la discontinuité de \(\tau\) est en \((0,0)\), de paramètre \(t=0\), \(U\) et \(\sigma(U)\) contiennent respectivement \(0\) et \((0,0)\). -
Merci beaucoup
Dernière question sur ce sujet : y a t-il un moyen, graphiquement par exemple, de savoir que la réciproque n'est pas continue en un tel ou tel point, (à part l'expliciter et le montrer avec une caractérisation séquentielle par exemple)
Nouvelle question : J'essaie de comprendre l'idée du paramétrage par longueur d'arc. Supposons on a une particule en mouvement sur un support. Paramétrer par un temps par exemple c'est dire à l'instant t_1, le point il est à l'endroit $\sigma(t_1)$, paramétrer par longueur d'arc, c'est se fixer un point qui sert d'origine sur l'arc et dire, à une distance $s_1$ de l'origine, la particule elle est à l'endroit $\sigma(s_1)$. Est ce que c'est ça l'idée ? -
Paramétrer par la longueur de l'arc, c'est supposer que le mouvement a une vitesse constante égale à $1$ en norme.
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