équations barycentriques
Bonjour à tous,
Si quelqu'un se sent inspiré, pourrait-il fournir quelques commentaires, explications, précisions, sarcasmes, blagues potaches (n'importe quoi en somme !) sur les problèmes suivants ?
Ils sont énoncés en Anglais. J'espère ne pas en avoir donné une traduction trop approximative.
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.
$\large•$ Problème 1.
Soit un triangle $ABC$ non aplati. On utilise les coordonnées barycentriques relativement au triangle $ABC$: $A=(1:0:0)$, $B=(0:1:0)$, $C=(0:0:1)$.
L'équation d'une droite est de la forme: $px + qy + rz = 0$.
Dans le plan du triangle $ABC$ on considère un point variable $M=(u:v:w)$, avec $uvw \neq 0$.
Soit $\mu = u + v + w \neq 0$, et soit $S$ le double de l'aire du triangle $ABC$.
Ce n'est précisé nulle part dans l'énoncé mais j'imagine que, comme dans l'exercice suivant: $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$.
On note $S_A=bc \cos A$, $S_B=ca \cos B$, $S_C=ab \cos C$, avec $S_AS_BS_C \neq 0$.
Enfin, on note $X, Y, Z$ les projections de $M$ sur les côtés $BC, CA, AB$ respectivement.
Démontrer que l'équation de la droite $MX$ est:
\begin{equation}
(vS_B - wS_C)x - (wa^2 + uS_B)y + (va^2 + uS_C)z =0
\end{equation}
(Olympiades-Croatie)
$\large•$ Problème 2. Equation barycentrique d'un cercle.
Soit un triangle $ABC$, d'aire $\Delta$, de côtés $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$.
On note $A,B,C$ les mesures des angles opposés et $\alpha = \cot A$, $\beta = \cot B$, $\gamma = \cot C$.
Alors la distance de deux points $P_i=(x_i,y_i,z_i), \quad (i=1,2)$, notée $\left|P_1P_2\right|$ est:
\begin{equation}
\left|P_1P_2\right|^2 = 2 \Delta \left[\alpha (x_1 - x_2)^2 + \beta (y_1 - y_2)^2 + \gamma (z_1 - z_2)^2\right].
\end{equation}
Soit $S=(x_0, y_0, z_0)$ et $P=(x,y,z)$. L'équation d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre $S$ et de rayon $\rho$ est de la forme:
\begin{equation}
\alpha (x-x_0)^2 + \beta (y-y_0)^2 + \gamma (z-z_0)^2 - \frac{\rho^2}{2\Delta}=0
\end{equation}
Elle est l'équivalent barycentrique de l'équation cartésienne mais je ne comprends pas le rôle joué par les fonctions "cotangentes" dans cette équation.
$\large •$ Problème 3.
Soit $ABC$ un triangle dont les trois angles au sommet sont aigus et dont les côtés sont de longueurs différentes (acute and scalene triangle).
Soit $M$, $N$ et $P$ les milieux de $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ et $\overline{AB}$ respectivement.
Les médiatrices ("perpendicular bisectors") de $\overline{AB}$ et $\overline{AC}$ interceptent le rayon $AM$ aux points $D$ et $E$ respectivement.
Les droites $BD$ et $CE$ sont concourantes au point $F$ à l'intérieur du triangle $ABC$.
Démontrer que $A$, $N$, $F$ et $P$ sont cocycliques.
On pose $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$ et $C=(0,0,1)$.
Alors $P=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, $M=(0,\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $N=(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$.
Sans aller plus loin dans la solution, comment démontrer que l'équation de la droite $AM$ est $y=z$ ?
(Olympiades USA-voir dessin ci-dessous...)
...
Si quelqu'un se sent inspiré, pourrait-il fournir quelques commentaires, explications, précisions, sarcasmes, blagues potaches (n'importe quoi en somme !) sur les problèmes suivants ?
Ils sont énoncés en Anglais. J'espère ne pas en avoir donné une traduction trop approximative.
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.
$\large•$ Problème 1.
Soit un triangle $ABC$ non aplati. On utilise les coordonnées barycentriques relativement au triangle $ABC$: $A=(1:0:0)$, $B=(0:1:0)$, $C=(0:0:1)$.
L'équation d'une droite est de la forme: $px + qy + rz = 0$.
Dans le plan du triangle $ABC$ on considère un point variable $M=(u:v:w)$, avec $uvw \neq 0$.
Soit $\mu = u + v + w \neq 0$, et soit $S$ le double de l'aire du triangle $ABC$.
Ce n'est précisé nulle part dans l'énoncé mais j'imagine que, comme dans l'exercice suivant: $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$.
On note $S_A=bc \cos A$, $S_B=ca \cos B$, $S_C=ab \cos C$, avec $S_AS_BS_C \neq 0$.
Enfin, on note $X, Y, Z$ les projections de $M$ sur les côtés $BC, CA, AB$ respectivement.
Démontrer que l'équation de la droite $MX$ est:
\begin{equation}
(vS_B - wS_C)x - (wa^2 + uS_B)y + (va^2 + uS_C)z =0
\end{equation}
(Olympiades-Croatie)
$\large•$ Problème 2. Equation barycentrique d'un cercle.
Soit un triangle $ABC$, d'aire $\Delta$, de côtés $a=\left|BC\right|$, $b=\left|CA\right|$, $c=\left|AB\right|$.
On note $A,B,C$ les mesures des angles opposés et $\alpha = \cot A$, $\beta = \cot B$, $\gamma = \cot C$.
Alors la distance de deux points $P_i=(x_i,y_i,z_i), \quad (i=1,2)$, notée $\left|P_1P_2\right|$ est:
\begin{equation}
\left|P_1P_2\right|^2 = 2 \Delta \left[\alpha (x_1 - x_2)^2 + \beta (y_1 - y_2)^2 + \gamma (z_1 - z_2)^2\right].
\end{equation}
Soit $S=(x_0, y_0, z_0)$ et $P=(x,y,z)$. L'équation d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre $S$ et de rayon $\rho$ est de la forme:
\begin{equation}
\alpha (x-x_0)^2 + \beta (y-y_0)^2 + \gamma (z-z_0)^2 - \frac{\rho^2}{2\Delta}=0
\end{equation}
Elle est l'équivalent barycentrique de l'équation cartésienne mais je ne comprends pas le rôle joué par les fonctions "cotangentes" dans cette équation.
$\large •$ Problème 3.
Soit $ABC$ un triangle dont les trois angles au sommet sont aigus et dont les côtés sont de longueurs différentes (acute and scalene triangle).
Soit $M$, $N$ et $P$ les milieux de $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ et $\overline{AB}$ respectivement.
Les médiatrices ("perpendicular bisectors") de $\overline{AB}$ et $\overline{AC}$ interceptent le rayon $AM$ aux points $D$ et $E$ respectivement.
Les droites $BD$ et $CE$ sont concourantes au point $F$ à l'intérieur du triangle $ABC$.
Démontrer que $A$, $N$, $F$ et $P$ sont cocycliques.
On pose $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$ et $C=(0,0,1)$.
Alors $P=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, $M=(0,\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $N=(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$.
Sans aller plus loin dans la solution, comment démontrer que l'équation de la droite $AM$ est $y=z$ ?
(Olympiades USA-voir dessin ci-dessous...)
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Réponses
La meilleure solution est encore d'utiliser le glossaire de Pierre qui est en ligne!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ta dernière question (dans le problème 3) me fait beaucoup de peine!
Dans ton Problème 2, il faut préciser que toutes les coordonnées barycentriques sont normalisées, c'est-à-dire que, pour chacun des points, leur somme est égale à $1$.
Quand au rôle des fonctions "cotangentes", il vient du fait que $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A=2\Delta \alpha $ $\left( =S_{A}=\frac{1}{2}\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) \right) $, ...
Un calcul simple donne alors le résultat.
Quant à la question "Sans aller plus loin dans la solution, comment démontrer que l'équation de la droite $AM$ est $y=z$ ?", il est évident que $y=z$ est vérifié pour les coordonnées barycentriques de $A$ et de $M$.
Cela dit, je ne pense pas que l'on attendait des candidats une solution de ce Problème 3 utilisant des coordonnées barycentriques.
Cordialement. Poulbot
@poulbot: Merci pour l'aide. La solution à ce problème fait effectivement intervenir les coordonnées barycentriques.
J'en traduirai la solution complète si elle vous intéresse. Il faut dans un premier temps calculer les coordonnées de $D=(1-2t, t, t)$ sur la droite $AM$. On traduit ensuite le fait que $DP$ est perpendiculaire à $AB$:
\begin{equation}
\big((t-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2} - 2t)\big)(-c^2/2)+t(a^2-b^2/2)=0
\end{equation}
Après calculs: $t=\frac{c^2}{3c^2+b^2-a^2}$.
On fait de même pour le point $E$ de la forme $E=(1-2t_1,t_1,t_1)$ etc... La conclusion fait intervenir le cercle circonscrit à $ABC$ d'équation:
\begin{equation}
a^2yz+b^2zx+c^2xy=0
\end{equation}
...
"La solution à ce problème $3$ fait effectivement intervenir les coordonnées barycentriques"
Je dirais plutôt qu'une solution à ce problème... mais, comme je l'ai déjà dit, je doute que ce soit le type de solution attendue des candidats.
Si $O=DP\cap EN$ est le centre du cercle $ABC$, une possibilité est de montrer que les droites $FO$ et $FA$ sont les bissectrices des droites $\left( FD,FE\right) $; ainsi $F$ sera sur le cercle de diamètre $\left[ OA\right] $ qui est aussi le cercle $APN$.
Le triangle $ADB$ étant isocèle, il est clair que $DO$ est une des bissectrices de $\widehat{EDF}$; de même $EO$ est une des bissectrices de $\widehat{DEF}$. Ainsi $FO$ est une bissectrice de $\left( FD,FE\right) $.
La droite $DE$ passant par le milieu $M$ de $\left[ BC\right] $, on a $\dfrac{\overline{EF}}{\overline{EC}}=-\dfrac{\overline{DF}}{\overline{DB}}$ (explication?). D'où, puisque $DA=DB$ et $EA=EC$, on a $\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{FD}{FE}$ et $FA$ est une bissectrice de $\left( FD,FE\right) $.
Cordialement. Poulbot
PS : Je te suggère d'ajouter le point $O=DP\cap EN$ sur ta figure
Question supplémentaire pour le troisième problème de df : pourquoi n'en est-il pas de même pour le point K, intersection des droites BE et CD ? et sur quel cercle pourrait-il éventuellement se trouver ?
Cordialement
PS : désolé, j'avais pourtant bien placé un "K" et un "O" sur ma figure, je ne comprends pas pourquoi ils ont disparu lors de la capture d'écran ...