Forme exponentielle d'un quaternion.

L2M · March 2018

Bonjour,

Soit $q=x+iy+jz+kt$, $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ un quaternion. On l'écrit sous la forme $q=x+\vec{v}$ puis sous la forme polaire $q=|q|(cos(\theta)+sin(\theta)\vec{n})$ puis exponentielle $$q=|q|e^{\theta\vec{n}}$$(voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Forme_polaire).

- L'écriture $|q|(cos(\theta)+sin(\theta)\vec{n})$, est-ce qu'on l'appelle aussi forme trigonométrique ?
- Pourquoi la forme exponentielle des quaternions n'est pas si importante que celle des complexes ? Elle est inexploitable. C'est frustrant.

Merci.

marsup · March 2018

Pour la terminologie "trigonométrique", je pense que c'est acceptable.

La forme exponentielle me semble aussi importante que pour les complexes : elle donne l'interprétation géométrique du quaternion.

On peut en effet voir les quaternions comme opérant sur l'espace euclidien $V$ de dimension 3 des quaternions purs.

Le quaternion $q \neq 0$ opère sur $V$ par conjugaison : $r_q : \vec x \mapsto q \cdot \vec x \cdot q^{-1}$.

Cette action se fait par rotation, décrite par son axe orienté, et son angle.

Comme la vie est bien faite, le quaternion $q = r \cdot e^{\vec v}$ correspond à la rotation autour de l'axe orienté $vect(\vec v)$ d'angle $2\|\vec v\|$.

Par exemple pour $q = i = e^{\frac{\pi}{2} \cdot i}$,
on a :
$r_i(i) = i \cdot i \cdot i^{-1} = i$
$r_i(j) = i \cdot j \cdot i^{-1} = - j$
$r_i(k) = i \cdot k \cdot i^{-1} = - k$
ce qui correspond à la matrice de rotation de rotation d'angle $\pi$
$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{bmatrix}
$
et de même,
$1+i = \sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}}$, opère par la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ de matrice :
$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$
(et le $\sqrt{2}$ ne sert à rien !)

Donc je te laisse voir comment opère $q_\theta = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$,
et même question en remplaçant $i$ par un autre quaternion pur de norme 1.

L2M · March 2018

Je ne comprends pas bien l'angle $2\Vert v \Vert$.

Je suis tout à fait d'accord avec toi, "la vie est bien faite". Mais, ce n'est pas encore complet. Le but en général de la notation exponentielle en mathématique c'est d'exprimer des fonctions qui ont des propriétés algébrique comme la puissance, $f({x+y})=f(x)\times f(y) ...$. Je ne vois pas ces propriétés pour les quaternions !

marsup · March 2018

Ah, oui mais bon...

La notation exponentielle d'un quaternion nous parle (entre autres) de rotations en dimension 3.

Celles-ci ne commutent pas, c'est ainsi...

Moins on passe de temps à essayer de faire entrer des carrés dans des ronds, plus il nous en reste (de temps) pour faire des choses intéressantes... (regarder les choses comme elles sont, notamment !)

L2M · March 2018

Je cois qu'on peut dire encore des choses importantes sur la forme exponentielle des quaternions et de faire exactement les mêmes opérations qu'on fait avec celle des nombres complexes.

Merci infiniment pour votre aide @marsup.

yavlory · March 2018

Bonjour

et de faire exactement les mêmes opérations qu'on fait avec celle des nombres complexes

excepté à des exceptions
$xy=w$ donne $x=y^{-1}w$ pour $y\neq 0$ dans R ou C
mais pas forcément dans H

Horza · April 2018

Bonjour

L'interprétation géométrique des quaternions est limpide dans le cadre de l'Algèbre Géométrique de David Hestenes.
Les i, j, k sont interprétés non comme des vecteurs (comme le pensait Hamilton et comme on l'enseigne encore) mais comme des bivecteurs (comme l'avait découvert Clifford).

Dans l'algèbre de l'espace euclidien de dimension 3 (notée Cl(3) dans la classification des algèbres de Clifford, et que les physiciens appellent APS pour Algebra of Physical Space, ou encore Algèbre de Pauli en mécanique quantique) les quaternions sont les multivecteurs de grades pairs. Ils produisent les rotations directement, sans besoin des matrices. Ce sont les spineurs en dimension 3.

La forme exponentielle est omniprésente mais c'est l'exponentielle d'un bivecteur et non celle d'un vecteur.

Cordialement

L2M · May 2018

@Horza :
La forme exponentielle est omniprésente mais c'est l'exponentielle d'un bivecteur et non celle d'un vecteur.

Pourquoi l'appelle-t-on "bivecteur" au lieu de "angle orienté de deux vecteurs" ?

Horza · May 2018

Un bivecteur n'est pas un angle, c'est une surface orientée.
C'est difficile d'expliquer cela en quelques lignes, le mieux serait que tu lises un texte d'introduction à l'algèbre géométrique (GA).
Il y en a beaucoup, qui s'adressent à différents publics: enseignants, étudiants, ingénieurs ou chercheurs. Certains sont centrés sur les mathématiques et d'autres développent surtout des applications physiques.
Je pourrais mieux te conseiller si tu me dis ce que tu souhaites.

Attention cependant : entrer dans GA n'est pas anodin, et on n'en revient pas.
Après avoir vu ce que c'est on ne veut plus utiliser les anciennes méthodes.