des sommets milieux d'arcs

jelobreuil · March 2018

Bonsoir à tous,
Je propose le sujet de réflexion suivant (je ne puis décemment pas appeler ça un problème, du moins pour certains d'entre vous !) :
Dans un triangle ABC (non rectangle), les droites portant les hauteurs découpent sur le cercle ciconscrit au triangle des arcs dont les milieux sont les sommets de ce triangle.
J'en déduis que le triangle orthique est toujours plus irrégulier que le triangle de base !
(voir le fichier joint, c'est une mouture améliorée de l'une de mes premières contributions à ce forum "suites de polygones conjugués ....")

Cordialement 73664

gb · March 2018

jelobreuil a écrit:

J'en déduis que le triangle orthique est toujours plus irrégulier que le triangle de base !

Ce qui revient à dire que les centre des cercles exinscrits forment un triangle plus régulier que le triangle de base…
Quel serait le critère qui « mesure » l'irrégularité ?

jelobreuil · March 2018

Bonsoir GB,
Dans mon petit travail, j'avais pris comme critère de régularité, pour les polygones, la variance des mesures des arcs découpés sur le cercle circonscrit.
Comme je l'explique dans le document joint, j'avais traité le cas du triangle de façon moins calculatoire, mais le résultat est le même.
Concernant le triangle de Bevan, il est effectivement plus régulier que le triangle de base, au sens où les écarts entre les mesures de ses angles sont moins grands, donc il est plus proche d'un triangle équilatéral.
Cordialement

des sommets milieux d'arcs

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