Tores de Hopf
Bonjour
Je connais la projection stéréographique et la fonction de Hopf. Quelqu'un saurait-il m'expliquer comment on fait ces dessins :
http://www.math.uni-tuebingen.de/user/nick/gallery/HopfTorus.html ?
Je connais la projection stéréographique et la fonction de Hopf. Quelqu'un saurait-il m'expliquer comment on fait ces dessins :
http://www.math.uni-tuebingen.de/user/nick/gallery/HopfTorus.html ?
Réponses
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J'arrive parfois à obtenir des dessins sympas avec cette fibration de Hopf et la projection stéréographique mais je suis encore bien loin d'obtenir ces superbes surfaces.
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Hey pas mal ça, qu'en pensez-vous ? cercles de Hopf
Du progrès, mais j'attends encore qu'on m'explique pour les tores ;-) -
Du progrès mes amis, du progrès.
Mais toujours pas compris ces tores "lobés". -
Salut,
En effet ces tores sont bien appétissants.
Si j'ai bien compris (après une recherche de 5 minutes) ce sont les solutions trouvées par Pinkall pour montrer que tout tore plat ($\C$ modulo un réseau) se plonge conformément dans $\mathbb{S}^3$ comme intersection de la sphère de $\R^4$ et d'une hypersurface quartique. (en tout, ça donne donc un plongement de degré 8 dans $\R^3$)
L'article de Pinkall est ici derrière un paywall : https://link.springer.com/article/10.1007/BF01389060
(mais https://sci-hub.tw/ le connaît aussi)
L'idée de la construction, c'est de dessiner des équateurs ondulés sur $\mathbb{S}^2$, et pour tirer en arrière ces cercles dans $\mathbb{S}^3$ par la fibration de Hopf.
(Je suppose que si c'est juste pour avoir de belles surfaces, il suffit de choisir n'importe quelle ondulation autour de l'équateur, pas forcément pile poil la bonne ?)
Je te montre les deux très jolis dessins de l'article de Pinkall : -
Hey, à force de comprendre, je commençais à m'en douter qu'il faille faire des équateurs ondulés. Maintenant il faut que je trouve comment programmer ça. Merci pour la recherhce.
Oui oui, je fais juste ça pour m'amuser. -
Bon n'importe nawak là, il est temps que je me repose.
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Le même n'importe nawak mais dessiné d'une autre manière.
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Ben mince sci-hub ne fonctionne pas chez moi pour cet article. Tu as réussi à l'avoir toi @marsup ?
Ceci dit je doute que l'article m'aide. Je manque sérieusement de background en géométrie. Mais si l'auteur donne les équations des courbes ça pourrait m'aider.
Bon sinon je continue à m'amuser. C'est dingue quand même ce qu'on peut faire avec un ordinateur de nos jours. Je suis très impressionné par ces mathématiciens qui ont découvert de si jolies choses avec juste du papier et un crayon. -
Wow sympas les anims: https://www.youtube.com/watch?v=RNApmzoqOq4
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Tiens pas mal. J'ai trouvé une équation dans une thèse.Vais voir ça de plus près.
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Joli non ?
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Est-ce que quelqu'un saurait me donner les équations des courbes à la page 5 de ces slides ? (les courbes sur les sphères).
Ou des courbes du même style quoi. Il faut qu'elles soient fermées. -
Celles-là exactement, je ne sais pas.
Tu peux paramétriser tes sphères par des angles d'Euler.
$$E : (\theta,\phi) \mapsto
%\begin{pmatrix}
% \cos(\theta) \\
% \sin(\theta) \cdot \cos(\phi) \\
% \sin(\theta) \cdot \sin(\phi) \\
%\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \cdot \cos(\phi) \\
\sin(\theta) \cdot \cos(\phi) \\
\sin(\phi) \\
\end{pmatrix}
$$
L'équateur $z=0$ est donné pour $\phi=0$.
Tu peux dessiner des équateurs ondulés avec des courbes de la forme : $$\gamma_p:t \mapsto E(t,p(t)),
$$ en choisissant une fonction $2\pi$-périodique notée $p$, qui oscille autour de $0$, et qui prend ses valeurs dans $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$.
Par exemple, les premières à essayer me semblent être les : $p(t) = a \cdot \cos(nt)$. -
Ok merci, je vais tester. En attendant regarde celle-là.
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Mais en fait je crois que j'ai déjà essayé ton truc. Me suis peut-être planté. Ou alors le problème est ailleurs, ça aussi c'est possible.
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Je confirme, ça ne marche pas. Sûrement que je fais une bêtise ailleurs. Je vais tâcher de mieux me renseigner sur le sujet.
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Bon j'ai changé mon code en pensant que cela résoudrait peut-être le problème. Mais non, ma foi encore un résultat sympathique mais toujours pas ça. C'est bizarre, je dois pas être loin quand même.
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Celui-ci c'est peut-être le plus proche de ce que je veux obtenir. On dirait qu'il y a deux "lobes". C'est avec cette formule, trouvée dans une thèse. Je ne sais pas comment la généraliser pour obtenir trois "lobes".
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Les couleurs sont un peu nazes et ça va trop vite, mais sinon ce tore a de la gueule non ?
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Le même animé différemment, moins rapide.
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Bon allez une dernière pour aujourd'hui. On dirait un peu un champignon.
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Quelques petits soucis à régler mais cette fois ça a l'air d'être ça. J'ai trouvé des explications simples ici : http://analyticphysics.com/Higher%20Dimensions/Interactive%20Bianchi-Pinkall%20Flat%20Tori.htm
J'ai juste à voir pourquoi il y a ces "trous" dans mon dessin. -
Ouuaaaiiiss j'ai rempli les trous. C'est maintenant que la vraie rigolade va commencer :-D
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Super, mais alors, je ne comprends plus.
Tes tores correspondent toujours, sous la fibration de Hopf à des équateurs + ondulation ?
Je ne comprends pas, alors pourquoi, ils n'ont pas l'air d'être homotopes au tore usuel en bouée dans $\R^3$ ? -
Bon, bah alors je me contente de dire qu'effectivement, le dernier sur giphy est très très joli.
C'est un "tore trèfle", non ? (le bord d'un "trefoil knot" épaissi) -
En fait regarde le dernier lien que j'ai mis, celui avec les explications simples. Il n'y a même pas de fibration de Hopf ! Mais peut-être qu'elle est cachée derrière. Faudra que je décode tout ça un jour.
Tu crois que c'est le noeud de trèfle ? Si c'est un noeud de tore ce serait autre chose que les tores de "Hopf-Willmore" alors... -
Non, je pense qu'il ne peut pas y avoir de fibration de Hopf dans un tel tore entrelacé !
En effet, tous les tores dans $\R^3$ qui se factorisent par la fibration de Hopf sont homotopes, car il n'y a qu'une seule classe d'homotopie de lacet plongé dans la sphère $\mathbb{S}^2$ (deux classes, en fait, à cause de l'orientation du lacet !) -
Bon alors, vraiment je suis largué, parce ça, ça ressemble à de la fibration de Hopf, avec des cercles de Villarceau !
edit upon closer inspection : ce que tu dessines, ce ne sont pas des cercles simples (qui bordent un disque plongé chacun), mais des cercles fortement entrelacés !
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Hopfkeyrings.jpg
https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration#/media/File:Hopfkeyrings.jpg -
Je vais te faire le 3 entrelacs avec des cercles fins si tu veux voir.
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Oui, je veux bien voir !
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Le voilà. Peut-être un peu trop rapide...
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En tout cas moi je n'ai toujours pas compris pourquoi la filbration de Hopf n'est plus là dans le lien avec le Javascript.
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ralenti par ezgif, ça rend pas terrible, par manque de fps !
Sais-tu combien il y a de composantes connexes, dans les (la) courbe(s) que tu traces ? -
Des composantes connexes ? Des cercles ? Je ne trace que des cercles. Là il y en a $80 \times 3$.
D'ailleurs un truc bizarre dans mon code :je mets une couleur différente pour chaque entrelac, et ça ne marche pas. C'est très bizarre, c'est pourtant très simple comme code et je ne vois pas d'erreur. -
Tu peux nous montrer ce que ça donne si tu plottes ne dessines qu'un seul (ou deux ou trois, etc.) cercle(s) ?
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Comment faire ça ? Car je fais une subdivision de $0$ à $2\pi$ et une subdivision de $0$ à $\pi$, cest de là que viennent les cercles.
Ou c'est moi qui ne comprends plus rien là :)o -
Ok. Allons nous coucher (chacun dans son lit) et on reparle un autre jour, alors !
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Ah non pardon je fais des segments qui mis bout à bout font des cercles. Evidemment avec un seul segment ça a planté.
Ouais on verra ça demain. Ciao. -
Euh voilà le dessin minimal lol
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Le voilà avec quelques "cercles".
En fait j'ai réfléchi, je ne peux pas contrôler les couleurs. Car je ne sais pas à quel lobe correspond quel cercle. Ce code ne me plait pas trop. -
On peut mettre un nombre non entier de lobes. Ici $2.5$.
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Plus rigolo, $1.5$.
Bon que vais-je faire ajourd'hui ?.. -
$0.5$ pour satisfaire les curieux.
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Ici il y a des explications : [Bianchi-Pinkall]. Je n'ai pas tout compris.
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Tiens, parce que je ne sais pas quoi faire de ma journée, j'ai pris le nombre de lobes qui varie dans le code, égal à l'indice du cercle en cours de tracé. Et ça fait cette espèce de citrouillle.
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Ca c'est intéressant. Quand je prends $n$ (nombre de lobes) égal à $1/k$ ($k$ indice du cercle en cours de tracé), on obtient un tore de révolution classique.
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La construction dépend du choix d'une fonction périodique. Voilà ce que ça donne avec une fonction très abrupte (genre Heaviside "périodisée").
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J'ai tout reprogrammé différemment. Dans le vrai style OpenGL cette fois, avec des facettes uniquement et non pas des cercles. Il n'y a donc plus de question d'épaisseur à choisir. C'est le vrai tore qu'on voit maintenant :-D
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