Minimisation
Bonsoir à tous,
je me pose une question en géométrie (qui n'est pas ma spécialité).
On prend un triangle T et on trace son cercle inscrit. Notons par $r(T)$ le diamètre du cercle inscrit et $h(T)$ la longueur du côté maximal de T.
Il semblerait que le rapport $h(T)/r(T)$ soit minimal pour T=triangle équilatéral.
Je me demande donc d'une part si cela vous semble juste et d'autre part quels sont les outils qui permettraient d'aboutir au résultat.
Bonne soirée.
je me pose une question en géométrie (qui n'est pas ma spécialité).
On prend un triangle T et on trace son cercle inscrit. Notons par $r(T)$ le diamètre du cercle inscrit et $h(T)$ la longueur du côté maximal de T.
Il semblerait que le rapport $h(T)/r(T)$ soit minimal pour T=triangle équilatéral.
Je me demande donc d'une part si cela vous semble juste et d'autre part quels sont les outils qui permettraient d'aboutir au résultat.
Bonne soirée.
Réponses
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Peut-être commencer par une expression du rayon du cercle inscrit ?
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Merci pour votre indication. De ce que j'en retiens :
le rayon vaut deux fois l'aire du triangle divisé par le périmètre. Donc (désolé pour les notations, $r(T) $ est toujours le diamètre...) en notant p le périmètre du triangle et A son aire on a :
$\frac{h(T)}{r(T)}=\frac{h(T)p}{4A}$
Or $A=h(T)*H/2$ où H est la hauteur du triangle.
Donc $\frac{h(T)}{r(T)}=\frac{p}{2H}$.
Avez vous une idée pour poursuivre?
Encore merci. -
Bonjour
Il faut minimiser une fonction différentiable dépendant de deux paramètres, $(\frac ba,\frac ca)\subset ]0,1[^2$
Autrefois, cela se faisait, aujourd'hui je n'en suis plus sûr!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour,
pouvez vous préciser votre raisonnement (et notations) s'il vous plait?
A quelles notions cela fait-il appel?
Merci d'avance. -
Bonjour Rad
Cela fait appel à ce qu'a dit Math Coss.
Si $r$ est le rayon du cercle inscrit et $a$, $b$, $c$ les longueurs des côtés du triangle, on devrait avoir:
$$r^2=\dfrac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{4(a+b+c)}$$
Si $a$ est la longueur du plus grand côté, on a:
$$\dfrac{r^2}{a^2}=\dfrac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{4a^2(a+b+c)}$$
En posant $\beta=\dfrac ba$ et $\gamma=\dfrac ca$, on trouve:
$$\dfrac{r^2}{a^2}=\dfrac{(\beta+\gamma-1)(1+\gamma-\beta)(1+\beta-\gamma)}{4(\beta+\gamma+1)}$$
C'est bien une fonction différentiable de $(\beta,\gamma)\in ]0,1[^2$
Minimiser une telle fonction est-il encore au programme, je ne sais pas.
Brusquement, j'ai l'intuition qu'on doit pouvoir s'en sortir avec l'inégalité arithmético-géométrique.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour,
Une autre idée: à rayon fixé, exprimer le (demi-) périmètre en fonction des angles $\alpha, \beta, \gamma$ marqués sur la figure ci-dessous, puis utiliser la convexité de la fonction tangente sur un intervalle adéquat.
Amicalement. jacquot -
Bonjour pappus,
Si tu relis le message qui a initié le fil, tu verras qu'il s'agit de maximiser la fonction de $(\beta,\gamma)$ que tu viens d'écrire.
Par ailleurs, effectivement, l'inégalité arithmético-géométrique assure que $$\dfrac{r^2}{a^2}\leq \dfrac{(\beta+\gamma+1)^2}{4\times 3^3}\leq\dfrac{1}{12}.$$Le reste suit facilement... -
Merci Gai Requin
J'avais inversé la fraction, une étourderie due au grand âge!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour et merci à tous, c'est désormais clair avec l'inégalité arithmético-géométrique.
Encore merci d'avoir donné de votre temps. Il se peut que je revienne vers vous pour comprendre les autres idées de preuve dont vous m'avez parlé.
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Bonjour!
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