Minimisation

Peut-être commencer par une expression du rayon du cercle inscrit ?

Bonjour
Il faut minimiser une fonction différentiable dépendant de deux paramètres, $(\frac ba,\frac ca)\subset ]0,1[^2$
Autrefois, cela se faisait, aujourd'hui je n'en suis plus sûr!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Rad
Cela fait appel à ce qu'a dit Math Coss.
Si $r$ est le rayon du cercle inscrit et $a$, $b$, $c$ les longueurs des côtés du triangle, on devrait avoir:
$$r^2=\dfrac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{4(a+b+c)}$$
Si $a$ est la longueur du plus grand côté, on a:
$$\dfrac{r^2}{a^2}=\dfrac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{4a^2(a+b+c)}$$
En posant $\beta=\dfrac ba$ et $\gamma=\dfrac ca$, on trouve:
$$\dfrac{r^2}{a^2}=\dfrac{(\beta+\gamma-1)(1+\gamma-\beta)(1+\beta-\gamma)}{4(\beta+\gamma+1)}$$
C'est bien une fonction différentiable de $(\beta,\gamma)\in ]0,1[^2$
Minimiser une telle fonction est-il encore au programme, je ne sais pas.
Brusquement, j'ai l'intuition qu'on doit pouvoir s'en sortir avec l'inégalité arithmético-géométrique.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour pappus,

Si tu relis le message qui a initié le fil, tu verras qu'il s'agit de maximiser la fonction de $(\beta,\gamma)$ que tu viens d'écrire.
Par ailleurs, effectivement, l'inégalité arithmético-géométrique assure que $$\dfrac{r^2}{a^2}\leq \dfrac{(\beta+\gamma+1)^2}{4\times 3^3}\leq\dfrac{1}{12}.$$Le reste suit facilement...