Les arêtes d'un polyèdre

Du coup (c'est souvent mieux de compter les faces) on peut énoncer plus généralement : si $P$ est un polyèdre et si pour tout entier naturel $n$ on note $N(P,n)$ le nombre de polygones à $n$ côtés qui constituent $P $ alors le nombre d'arêtes de $P$ est $\frac{1}{2}\sum_{n\in \mathbb{N}} n\times N(P,n)$.

Bonjour jacquot,

Considérons un polyèdre $P$ qui n'est constitué que de pentagones (on note $p$ leur nombre non nul) et d'hexagones (on note $h$ leur nombre non nul), remarquons que l'angle formé par deux côtés du pentagone à l'intérieur est de 108° tandis que celui de l'hexagone est de 120°, on déduit que les sommets de $P$ ne peuvent être que de degré 3 (il y a 3 arêtes qui partent de chaque sommet) car on a $2\times 108 + 120 <360$ et $2\times 120 +108<360$, ainsi les sommets de $P$ ne peuvent être que deux types, le premier type est une rencontre de 2 pentagones et d'un hexagone tandis que le deuxième type est une rencontre de 2 hexagones et d'un pentagone.

Supposons à présent que le polyèdre $P$ est un "ballon", appelons "ballon" un polyèdre qui possède tous ses sommets identiques (localement isométriques), on note $s$ le nombre de sommets de $P$, par hypothèse les sommets de $P$ sont tous du premier type ou tous du second type, supposons qu'ils sont tous du premier type, en s'épargnant le formalisme et les surjections on peut écrire que le comptage des pentagones en écrivant $2s$ est tel que chaque pentagone est compté 5 fois (puisqu'il est à coté 5 sommets) d'où la relation $2s=5p$, de même le comptage des hexagones en écrivant $ s $ est tel que chaque hexagone est compté 6 fois (puisqu'il est à coté de 6 sommets) d'ou la relation $s=6h$, on déduit que $ h=\frac{5}{12} p $.

Dans le cas ou tous les sommets de $ P $ sont du second type, on obtient de même les relations $2s=6h$ et $s=5p$ donc $h=\frac{5}{3}p$, utilisons à présent l'hypothèse que le ballon possède 12 pentagones, le nombre d'hexagones est alors 5 si tous les sommets sont du premier type ou bien 20 si tous les sommets sont du second type, on peut ensuite utiliser la propriété énoncée dans mon post précédent, si tous les sommets sont du premier type on obtient $(12\times 5 + 5\times 6)/2=45$ arêtes et si tous les sommets sont du second type on obtient $(12\times 5 + 20\times 6)/2=90$ arêtes.

Notons que le ballon du premier type ne contredit pas le théorème de Descartes-Euler car 30-45+17=2 donc à priori il peut exister. J'ai essayé de dessiner son patron sans aboutir pour l'instant ... (rien à voir mais il y a des barres qui apparaissent à côté de certains caractères écrits en LATEX et je ne sais pas pourquoi)