Produit interne, algèbre géométrique graduée

Bonjour
Considérons $\Big(\overrightarrow{e_{1}};\overrightarrow{e_{2}}\Big)$ une base orthonormée directe du plan vectoriel euclidien orienté usuel $\overrightarrow{{\cal P}}$.
À partir de ce plan vectoriel $\overrightarrow{{\cal P}}$ (de dimension 2), nous avons deux espaces vectoriels de dimensions 1 et obtenons un nouvel espace vectoriel :$$\overrightarrow{\R}\bigoplus\overrightarrow{{\cal P}}\bigoplus\R\;\overrightarrow{e_{1}}\wedge\overrightarrow{e_{2}}$$ appelé algèbre graduée et $\overrightarrow{e_{1}}\wedge\overrightarrow{e_{2}}$ est le produit extérieur (ce n'est pas le produit vectoriel).
Le produit interne (i.e. c'est le produit scalaire) de deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{v}$.

Soit $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ trois vecteurs de $\overrightarrow{{\cal P}}$. Alors :$$\overrightarrow{u}\centerdot\Big(\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}\Big)=\Big(\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{a}\Big)\;\overrightarrow{b}-\Big(\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{b}\Big)\;\overrightarrow{a}$$ et $$\Big(\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}\Big)\centerdot\overrightarrow{u}=\Big(\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{b}\Big)\;\overrightarrow{a}-\Big(\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{a}\Big)\;\overrightarrow{b}
$$ Le produit interne entre deux vecteurs est le produit scalaire usuel, pourquoi le produit interne entre un vecteur et un bi-vecteur est antisymétrique ? L'un induit une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ sur $\overrightarrow{{\cal P}}$ tandis que l'autre induit une rotation d'angle $-\frac{\pi}{2}$ sur $\overrightarrow{{\cal P}}$.
D'après ce que j'ai vu, de façon générale, il y a un $(-1)^{k+1}$ qui traîne où $k$ est la dimension du $k$-vecteur.

Ma question : soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur, $\overrightarrow{A_k}$ un $k$-vecteur pur, pourquoi a-t-on $$\overrightarrow{u}\centerdot \overrightarrow{A_k}=(-1)^{k+1} \overrightarrow{A_k}\centerdot \overrightarrow{u}
$$ Merci.
Lionel