Géométrie affine

Au collège, on fait très peu de géométrie affine car on parle sans cesse de longueur.
Ainsi on utilise quasiment tout le temps de la géométrie euclidienne.

Quand on n'utilise que des vecteurs, on fait de l'affine sans avoir besoin de l'euclidienne.
La notion de droite perpendiculaire est aussi de la géométrie euclidienne.

Définition pense-bête : affine+produit scalaire = euclidien.

Il est vrai qu'on ne parle pas de produit scalaire au collège, ce qui n'aide pas à la compréhension.

Les transformations de la géométrie euclidienne, celle du collège, sont les similitudes.
Une de ses figures phares est le cercle. Tous les cercles sont semblables.

Les transformations de la géométrie affine sont les similitudes et d'autres transformations moins bien connues,
telles les affinités (voir google).
Deux de ses figures phares sont le triangle et le parallélogramme.
Tous les triangles sont affinement égaux, ainsi que tous les parallélogrammes.
Les énoncés suivants sont typiquement affines :
Le barycentre d'un triangle découpe les médianes dans la proportion (1:2) .
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.

Et de dimension finie non ?

Salut,
la chose importante à dire sur l'affine : les objets sont des points et non pas des vecteurs même si un lien étroit existe. Les sommets $A$, $B$, $C$ et $D$ d'un parallélogramme (non dégénéré) sont des points du plan affine, mais les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ et autres sont des vecteurs du plan vectoriel.

En particulier, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ mais $\left[AB\right]\neq\left[DC\right]$

Lionel

Salut Pappus,
tu n'as pas les mêmes propriétés dans un espace affine et dans un espace vectoriel. En particulier, dans un espace vectoriel, tu n'as pas de droite vectorielle strictement parallèle. Et un vecteur, c'est une classe d'équivalence de bipoints équipollents.

En particulier, en C.A.O., on trace des courbes passant par des points et respectant des conditions de tangences entre ces points : les propriétés ne sont pas les mêmes si les conditions sont données par des points ou des vecteurs. Si tu prends l'image d'une telle courbe par une transformation affine, tu dois appliquer cette transformation affine aux points de contrôle et appliquer l'endomorphisme associé à la transformation affine aux vecteurs. Si tu utilises une translation, les coordonnées de tes points de contrôle changent tandis que les composantes de tes vecteurs de contrôle sont invariants. Et on est bien obligé de faire la différence, un ordinateur ne sait pas faire la différence tout seul, c'est le programmeur qui doit le faire à sa place. Je joins un exemple avec la modélisation de la boucle du folium de Descartes.

Lionel

Bonjour Soland, tout à fait d'accord avec ton point A ; pour ton point B j'ai quelques difficultés avec tes similitudes : qu'appelles-tu une similitude dans le cas des espaces affines ?

Bruno

"Logiquement" la géométrie projective (disons, plane) vient en premier. Puis la géométrie affine, quand fait le choix d'une droite qu'on appelle droite de l'infini. Enfin, la géométrie euclidienne (ou plutôt géométrie des similitudes), quand on fait le choix d'une paire de points complexes conjugués sur cette droite de l'infini qu'on appelle points cycliques. ;-)

Les similitudes conservent les aires ?

pappus a écrit:

Bonjour
Ne pas oublier qu'un espace vectoriel a une
structure d'espace affine canonique.
Je n'ose dire quels sont ses points et ses
vecteurs!
Amicalement

Mais cela ne marche pas dans l'autre sens. Un espace affine n'a pas une structure d'espace vectoriel canonique. Donc moi j'ose affirmer que les points sont bien différents des vecteurs. :-D